Определение квантора?

[kp9r4d]

Позавчера преподаватель по матлогике сказал, что у квантора (всеобщонсти и существования) есть определение. Я всегда считал (вычитав это предварительно в конспектах лекций Манина) что квантор — всего лишь символ алфавита формального языка метатеории, с помощью которого особым образом можно формировать строки, называемые «формулами» или же «wff» (well-fomed formula), однако перподаватель мне сказал, что я неправ и у квантора действительно есть определение. В чём же истина?

[Xaositect]

Ну так и спросите у преподавателя, что он имел в виду.
Квантором еще называют любой оператор, сопоставляющий предикатам истинностные значения. Например, "существует единственный $x$", "существует бесконечно много $x$".

[arseniiv]

kp9r4d в сообщении #834727 писал(а):

однако перподаватель мне сказал, что я неправ и у квантора действительно есть определение

Если он говорил про отдельный символ, то придётся признать, что он не прав. Но он мог спрашивать о, например, истинности формулы $\forall x\,P(x)$ в какой-то интерпретации. Сам символ $\forall$ вне формулы (которую уже можно или нельзя вывести) и интерпретаций (которые дадут формуле истинностное значение) никакого особого смысла не имеет, как и символ $\neg$ или скобка.

[kp9r4d]

arseniiv Xaositect
Cпасибо, примерно понятно; спор произошёл на алгебре, поэтому преподаватель отказался что-либо пояснять ссылаясь на то, что дескать «на логике узнаете» и «почитайте в методичке», а методички у меня нету, поэтому вот так вот. Всё-таки постараюсь его ещё раз найти и узнать что он имел в виду.

Xaositect в сообщении #834743 писал(а):

Квантором еще называют любой оператор, сопоставляющий предикатам истинностные значения. Например, "существует единственный $x$", "существует бесконечно много $x$".

arseniiv в сообщении #834747 писал(а):

Но он мог спрашивать о, например, истинности формулы $\forall x\,P(x)$ в какой-то интерпретации.

Я не очень понял вот это, можете объяснить?

[Xaositect]

В матлогике рассматриваются два уровня: синтаксический (доказательства) и семантический (модели). На синтаксическом уровне определяются и рассматриваются понятия терма, формулы и доказательства. На семантическом уровне вводится интерпретация термов и формул, истинность формул, модель теории, и эти понятия связываются с синтаксическими.

Так вот, формуле логики первого порядка с свободными переменными $x_1,\dots,x_k$ на семантическом уровне соответствует $k$-арный предикат (или отношение) - функция, которая по $k$ аргументам определяет, истинна или ложна эта формула.
Соответственно, когда на синтаксическом уровне мы переходим от формулы $P(x)$ к, например, $\forall x P(x)$, на семантическом уровне мы получаем отображение, которое каждому предикату от одной переменной сопоставляет одно истинностное значение (истинное, если $P(X)$ истинна для всех $X$ из области изменения перенной $x$, и ложное иначе). Вот такие отображения и называются иногда кванторами, наряду с их синтаксическими параллелями - символами $\forall$, $\exists$ и т.п.

[arseniiv]

Спасибо большое Xaositect.

Формулы теории обычно получают истинностное значение индуктивно: если формула такого-то вида (например, $A\vee B$), вычислить такую штуку от значений подформул, если формула этакого-то вида, вычислить другую штуку — и кванторные формулы тоже, конечно, имеют свои правила вычисления значения — вот о них-то и могла быть речь. В частности, формула $\forall x\,A$ имеет значение true тогда и только тогда, когда для любого элемента модели формула $A$ имеет значение true (это должно быть записано аккуратнее).

Это просто другая сторона описания Xaositect: интерпретация формулы $A$ как отношения с последующим применением отображения-квантора равносильна синтаксическому навешиванию квантора с интерпретацией полученной $\forall x\,A$. Можно определить значение кванторной формулы через «семантическое» отображение, а можно наоборот.

[kp9r4d]

Понял, спасибо arseniiv, Xaositect!

[patzer2097]

а разве $\forall x\in S\,\, P(x)$ не определяется как $\bigwedge\limits_{x\in S} P(x)$?

[Xaositect]

Ну это зависит от того, определили ли мы до этого $\bigwedge\limits_{x\in S}$ для произвольных $S$.

Ну и к тому же бывают неограниченные кванторы $\forall x$.

[patzer2097]

Xaositect в сообщении #834800 писал(а):

Ну это зависит от того, определили ли мы до этого $\bigwedge\limits_{x\in S}$ для произвольных $S$.

ага, понятно. получается, об "определении" квантора следует говорить, только если мы говорим об истинности некоторой формулы. а сам по себе квантор - просто символ

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #834743 писал(а):

Квантором еще называют любой оператор, сопоставляющий предикатам истинностные значения.

"Оператор, сопоставляющий $n$-арным предикатам $n-1$-арные, $n\geqslant1$?"

[Xaositect]

(Оффтоп)

Любой оператор из $k$-арных предикатов в истинностные значения обощается до семейства операторов из $n+k$-арных предикатов в $n$-арные. Насколько я понимаю, только такие штуки и будут кванторами. Так что мне легче было сказать так, как я сказал.

[nikvic]

Есть симпатичная точка зрения, согласно которой квантор - оператор, отображающий функцию нескольких переменных в функцию с сокращённым списком переменных. Примеры - определённый интеграл, взятие максимума по некоторым переменным.
Хотя сам термин "укрепился" только в логике.

[arseniiv]

Для такого случая лучше какой-нибудь «связыватель».

-- Пн мар 10, 2014 19:26:41 --

Или «понижающий оператор». Можно для функций использовать тензорные обозначения и сворачивать по индексам: $h_{xtz} = g_{tx} {\int}^y f_{xyz}$. Брр.