Механика (кинематическая (геометрическая) связь)

[gkorepanov]

Вот такая задача.




На платформе с прямоугольным выступом высотой $h$ лежит небольшое тело массой $m$.
К нему прикреплён один конец невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок, установленный на выступе платформы (рис. 9). Второй конец нити закреплён на вертикальной стене так, что участок нити между блоком и стеной горизонтален.

Платформу перемещают от стены с постоянной скоростью $\upsilon$. С какой силой $F$ нужно тянуть платформу в тот момент, когда участок нити над платформой составляет угол $\alpha$ с горизонтом? Сила F горизонтальна и лежит в плоскости рисунка. Коэффициент трения между телом и платформой $\mu$, между платформой и полом трения нет. Считайте, что во время движения груз от платформы, а платформа от пола не отрываются.


Суть сводится к нахождению ускорения "небольшого тела массой m". Как его найти?
(надо в рамках ~10 класса, т.е. желательно без производных, или, в крайнем случае, с ними).

Пытаюсь ввести связи из геометрических соображений, но ничего путного не выходит. Обычно в подобных задачах находят связь скоростей, а тут... ускорение. Начальные условия я записал как-то так:
Известны гипотенуза $r$, расстояние от тела до ступеньки $x$ и высота $h$ в начальный момент времени (два катета и гипотенуза) (всё выражается через тоже известный угол).
Производная $r$ по времени есть $- \upsilon$,
производная $h$ равна нулю ($h = \operatorname{const}$),
ускорение ступеньки нулевое, т.е. вторая производная $r$ по времени есть нуль.

Как отсюда найти вторую производную x?!
Не хватает опыта в подобных геометрических связях. Буду благодарен за подсказку/ссылку на подобную задачу с решением.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Механика и Техника»

[Oleg Zubelevich]

направим горизонтальную ось $X$ справа налево, и пусть ноль этой оси находится в углу. Через $x$ обозначим координату ролика , который укреплен на платформе, а через $y$ координату маленького тела.
Тогда:

$$y=x+h\ctg\alpha,\quad h/\sin\alpha+x=l,$$

где $l$ -- длина нити.
Эту систему уравнений следует продифференцировать по времни и исключить $\dot\alpha$. C учетом того, что $\dot x=const$, получим

$$\dot y=\dot x(1-1/\cos\alpha),\quad \ddot y=-\dot x^2(\tg\alpha)^3/h$$

и т.д.

[gkorepanov]

Связь скоростей-то я сразу нашёл, у меня с ускорениями проблема была.
Но! Как это всегда бывает, через час после "публикации" на форум сам довольно легко получил ускорение. Прошу прощения.
P.S. Если нужно, запишу решение.

-- 09.03.2014, 16:55 --

А, прошу прощения, Вы дополнили. У меня так же получилось :3 Благодарю.