Дифференциал. Подзабыл. Решил вывести.

[GlazkovD]

Слегка подзабыл вышку на элементарном уровне.
Точнее дифференциалы высших порядков. Решил вывести.
Кому не лень, проверьте пожалуйста логику рассуждений
т.к в А.А. Гусак Т1 приводится вывод, однако не совсем четкий и понятный.

Если

$$y=f(x)$$

то

$$dy=f'(x)dx$$

$$dy$$

считается функцией одной переменной т.к dx
приращение

$$x$$

а в свою очередь

$$dx-->0$$

и

$$dx$$

есть постоянная величина.

Т.е

$$dy$$

есть функция одной переменной x
Подчеркнем что

$$dy$$

есть функция.

Дифференциал от дифференциала,
или дифференциал второго порядка
Второй дифференциал от

$$dy$$

можно находить
обычным способом т.к dy считаем обыкновенной
функцией переменной x.

Обозначим

$$dy=\phi (x) = f'(x)dx $$

$$ d(dy) = d( \phi (x)) = \phi ' (x) dx = (f'(x)dx)'dx $$

Т.к dx есть приращение аргумента,
а так же величина постоянная то dx
можно вынести за знак производной.

$$ d(dy)= d( \phi (x)) = \phi ' (x) dx = (f'(x)dx)'dx = (f'(x))'dxdx=f''(x)dx ^ {2} $$

ВЫВОД:

$$dx ^{2} = dxdx $$

а

$$d ^{2}y =d(dy) $$

Добавлено спустя 45 минут 14 секунд:

И еще возник вопрос на эту тему от которого я в шоке.
Невероятно что бы вторая производная была тождественна двойному дифференциалу. Но с точки зрения вывода который я привожу ниже, так получается.

$$ y''=(y')'=(\frac {dy} {dx})' = \frac {d(\frac {dy} {dx}) } {dx} = $$

$$=\frac {\frac {1} {dx} d(dy)} {dx} $$

Вот тут то dxЫ сокращаются и получается что это

$$d^ {2} y$$

[bot]

GlazkovD писал(а):

Вот тут то dxЫ сокращаются

Тут они вовсе не сокращаются, а совсем даже наоборот.
На производную (обыкновенную, то есть для функции одной переменной) можно рассматривать как отношение дифференциалов:

$y''= ... =\frac {\frac {1} {dx} d(dy)} {dx} = \frac{(\frac{d(dy)}{dx})}{dx}=\frac{d^2y}{dx^2}$

Но лучше уж тогда так:

$d^2y=d(dy)=d(y'dx)= \ $ [константа dx выносится] $ \ = d(y')\cdot dx= y''dx\cdot dx=y''dx^2$

Теперь делим на $dx^2$.

[OZH]

Я слышал про дифференциал другое: дифференциал --- это отображение касательных пространств.

[Brukvalub]

OZH писал(а):

Я слышал про дифференциал другое: дифференциал --- это отображение касательных пространств.

А второй дифференциал?

[OZH]

Brukvalub писал(а):

А второй дифференциал?

Рекурсия, однако.

Добавлено спустя 32 минуты 58 секунд:

А чем Вас не устраивает "моё" определение?

[Brukvalub]

OZH писал(а):

Я слышал про дифференциал другое: дифференциал --- это отображение касательных пространств.

OZH писал(а):

А чем Вас не устраивает "моё" определение?

Прежде всего тем. что это даже и не определение. а "слух" Дифференциал - это не просто отображение, а линейное отображение касательных пространств, и говорить о нем без упоминания способа, которым это отображение порождается дифференцируемой функцией, вряд ли целесообразно. Дальнейшее долго пересказывать. сошлюсь на неплохое изложение данного вопроса в учебнике В.А.Зорича: Зорич В.А. — Математический анализ (Часть 2)

[OZH]

Вы правы. Линейность о-очень важна. Я о ней как-то забыл... Но я действовал в правильном направлении! И это направление мне подсказал Зорич: с тех пор и помню. Но я же не стал писать ОПРЕДЕЛЕНИЕ, я только дал указание, и причём правильное. Не судите меня строго.

P.S. "Скачать книгу с нашего сайта нельзя" (с). Зачем же давать ссылку? ... А у меня есть бумажный вариант!! Хе-хе-хе!