На всякий случай выпишу небольшой примерчик.

над

с покоординатными сложением и умножением на скаляр.
Пускай есть

. Как элемент декартова произведения

, он имеет две координаты. Первая — 3, вторая — 2, ими мы его и задали, т. к. других элементов с такими координатами в

нет.
Со стороны

как векторного пространства эти 3 и 2 не то что бы неинтересны, их вообще нельзя узнать.
Теперь возьмём какой-нибудь базис

. И тут оказывается, что

. И вот эти

— это координаты

в базисе

, и линейной алгебре интересны, если интересны, именно такие, в этом или каком-то другом базисе

. На её языке их выразить можно, в отличие от первых.