Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?

[Gobino]

Известна формула для выражения \pi,
\sqrt\pi=2^N{\frac{\Gamma(\frac{N+2}{2})\Gamma(\frac{N+1}{2})}{\Gamma(N+1)} }
Допустим существует множество N, элементы которого могут принимать 2 состояния. Для такого множества
сомножитель 2^N представляет собой количество (обьем) всех его состояний. Или другими словами это маска двоичного N-разрядного слова. Рассмотрим сомножитель \frac{{\Gamma(\frac{N+2}{2}) \Gamma(\frac{N+1}{2})}}{\Gamma(N+1)}, очень уж он напоминает перевернутую формулу для количества сочетаний C_{N}^{\frac{N}{2} }=\frac{N!}{{\frac{N}{2}}!{\frac{N}{2}}!}, которая отражает количество симметричных состояний множества, разбитого на 2 почти равные части. А вся формула для выражения \pi могла бы интерпретироваться как отношение количества всех состояний множества к количеству симметричных состояний множества разбитого на две почти равные части или величину обратно пропорциональную вероятности состояния {\frac{N}{2}}. Но вся засада в этом "почти". Ведь гамма функция от дробного числа лишает такого простого смысла. Но именно она делает справедливой данную формулу для любых целых N, именно в ней заложена взаимосвязь элемента и множества. Возможно какое то отображение друг на друга. Именно благодаря ей \pi приобретает смысл инварианта состояния независимо от размера множества.
Существуют также аналоги числа \pi для разбиения множеств m- ричных элементов на m равных частей , которые являются инвариантами относительно размера множества - N.
Предлагаю ознакомиться со свойствами функции, порождающей множество \pi-подобных констант.
1). \pi(m)= \left(m^N\frac{\Gamma(\frac{m+N}{m})\Gamma(\frac{m+N-1}{m})...\Gamma(\frac{N+1}{m})}{\Gamma(N+1)}\right)^m =(\frac{(2\pi)^{m-1}}{m})^\frac{m}{2}, где N - количество m- ричных элементов множества.

2).\lim_{m\to\infty} \left(\frac{\pi(m)}{\pi(m-1)}\right) = (\pi^{\frac{1}{m}}(m)\sqrt m)^{\frac{1}{m-1}} = \sqrt{2\pi(2)}

3). Известна кси функция Римана:
R(m)=\frac{\Gamma(\frac{m-1}{2})}{2\pi^{\frac{m+1}{2}}},
Получено следующее выражение:
R(m-1)R(m-2)=\frac{\Gamma(m-1)}{2m\pi^{\frac{2}{m}}(m)}=\frac{\Gamma(m-1)}{2^m\pi^{m-1}}.

4). \pi(m)=\pi^{\frac{m^2-2}{k^2-2}}(k)(\frac{k^\frac{m-1}{k-1}}{m})^{\frac{m}{2}}

[Lukum]

Подобных интерпретаций может быть множество, имхо.
Рисуем квадрат со стороной 1 и вписываем в квадрат окружность с радиусом 1.
Бросаем на "равномерную удачу" в квадрат точки.
Число точек, попавших в круг с радиусом 1, разделим на общее число точек, получим число пи.

[Lukum]

*в предыдущем сообщении куча ошибок, не могу исправить
$\pi/4=\pi r^2 / (2 r)^2$

[Gobino]

Во первых, в Вашем опыте с бросанием в мишень получится величина $\frac{\pi}{4}$, во вторых, рисуя круг вы неявным образом задаете $\pi$, а затем его просто выводите из геометрии круга. По сути Вы используете готовую формулу для площади круга и выражаете из нее $\pi$. Здесь нет никакого комбинаторного подхода. А вопрос заключался в том, чтоб выразить данную величину комбинаторно как свойство некоего множества, возможно имеющего сложную структуру элементов (к примеру фрактальную), являющуюся инвариантом по отношению к размеру множества, и зависящую только от структуры элементов и связей между элементами, которые и требуется определить.

[bot]

Бесконечная плоскость разлинована параллельными прямыми, расположенных на расстоянии 2 спички друг от дружки. Кидаем спичку на плоскость случайным образом. Отношение числа бросков к числу пересечений с какой-нибудь из прямых будет $\pi$.

[Gobino]

[url=http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=832215#p832215]Subject: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
bot wrote:
Бесконечная плоскость разлинована параллельными прямыми, расположенных на расстоянии 2 спички друг от дружки. Кидаем спичку на плоскость случайным образом. Отношение числа бросков к числу пересечений с какой-нибудь из прямых будет $\pi$.



1). Данное утверждение не очевидно, в связи с этим прошу дать ссылку на доказательство, либо само доказательство, а так же уточнение по поводу разлиновки, она в линию или в клетку? А так же по поводу распределения вероятности, она равномерна по всей плоскости или же бросание происходит из одной точки?
2). На мой взгляд данный опыт - это проявление свойства пространства, так же как и отношение квадрата диаметра к площади круга. Отличие здесь заключается в том, что круг мы чертим не циркулем, а случайно брошеной спичкой. Так к примеру разброс дроби при выстреле из ружья стремится к площади круга.
3). Я думаю в данном примере ни о каком комбинаторно множественном выражении $\pi$ речи так же не идет как и в предыдущем, в обеих случаях констатируется факт,полученный эмпирически. Однако окончательный вывод после знакомства с доказательством.
Постановка задачи заключается в отыскании вероятностного смысла числа $\pi$, как комбинаторной характеристики некоего множества. Точнее даже смысл этот предположен, а необходимо построить множество, подходящее под данный смысл, отыскать структуру его элементов (возможно рекурсивную или фрактальную) и характер взаимосвязи между элементами.
Так же было показано, что $\pi$ является инвариантом относительно размера множества. И была показана функция, порождающая ряд $\pi$ - подобных трансцендентых констант, так же являющихся инвариантами относительно размера множества. Было показано, что данные константы возможно связаны с симметричными разбиениями множества.

Deggial: Gobino, формулы обрамляйте долларами - тег math проставиться сам и шрифт красивее. Цитаты оформляйте тегом quote.

[Lukum]

Перестановки связаны с факториалами, факториалы с числом пи (формула Стирлинга).
Биноминальное распределение связано с факториалами, нормальное с биноминальным и следовательно с числом пи.
Вот везде и выплывает пи :)

-- 03.03.2014, 19:09 --

По поводу разлинованной плоскости, погуглите "задача Бюффона, игла Бюффона".

[bot]

Иглу Бюффона (без упоминания имени) встретил в глубоком детстве в какой-то популярной книжке, возможно у Я.И.Перельмана. Обоснование базировалось на двух тезисах.
Вероятностьь пересечения
1) пропорциональна длине иглы.
2) не зависит от формы иглы.
Остальное просто. Берём иглу длины $\pi$ и сгибаем её в окружность ...
Первый тезис не вызвал возражений, чего не могу сказать о втором. Как он обосновывается - не знаю до сих пор.

[venco]

Ну как же, оба тезиса - следствия аддитивности матожидания. Разбиваем иголку на маленькие участки...

[Cash]

Можно еще вспомнить про вероятность того, что два произвольно выбранных натуральных числа будут взаимно простыми.

[bot]

venco в сообщении #832465 писал(а):

Разбиваем иголку на маленькие участки...

Вот это и вызывает некоторый дискомфорт даже сейчас. Почему совместное падение кусочков равнозначно независимому?

[vicvolf]

Cash в сообщении #832467 писал(а):

Можно еще вспомнить про вероятность того, что два произвольно выбранных натуральных числа будут взаимно простыми.

Можно подробнее?

[Cash]

Известная задача. В нестрогой формулировке звучит так: вероятность того, что два наугад выбранных натуральных числа будут взаимно простыми равна $\frac6{\pi^2}$

-- Вт мар 04, 2014 13:14:47 --

Весьма нестрогое доказательство:
Пусть эта вероятность равна $p$. Тогда вероятность того, что $\gcd(m,n)=d$ равна вероятности одновременного выполнения трех независимых событий: $m$ кратно $d$, $n$ кратно $d$, а также $\gcd(\frac md,\frac nd)=1$. То есть равна $\frac p{d^2}$. Суммируя по всем $d$ получаем:
$1 = p(1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2} + \ldots)$

[Gobino]

Спасибо всем кто откликнулся на вопрос темы и поделился идеями. В свете того что мне удалось преобразовать выражение для $\pi$ к комбинаторному виду $\pi={(\frac{2^N}{N})}^2C_N^\frac{N}{2}C_{N-1}^\frac{N-1}{2}$, попробую переформулировать вопрос. Имеет ли комбинаторный смысл сочетание из целого по дробному?

[venco]

bot в сообщении #832469 писал(а):

Вот это и вызывает некоторый дискомфорт даже сейчас. Почему совместное падение кусочков равнозначно независимому?

Дискомфорт есть, но факт остаётся фактом, матожидание суммы даже сильно зависимых случайных величин равно сумме матожиданий.