2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение03.03.2014, 01:14 
Заблокирован


17/02/14

67
Известна формула для выражения \pi,
\sqrt\pi=2^N{\frac{\Gamma(\frac{N+2}{2})\Gamma(\frac{N+1}{2})}{\Gamma(N+1)} }
Допустим существует множество N, элементы которого могут принимать 2 состояния. Для такого множества
сомножитель 2^N представляет собой количество (обьем) всех его состояний. Или другими словами это маска двоичного N-разрядного слова. Рассмотрим сомножитель \frac{{\Gamma(\frac{N+2}{2})
\Gamma(\frac{N+1}{2})}}{\Gamma(N+1)}, очень уж он напоминает перевернутую формулу для количества сочетаний C_{N}^{\frac{N}{2} }=\frac{N!}{{\frac{N}{2}}!{\frac{N}{2}}!}, которая отражает количество симметричных состояний множества, разбитого на 2 почти равные части. А вся формула для выражения \pi могла бы интерпретироваться как отношение количества всех состояний множества к количеству симметричных состояний множества разбитого на две почти равные части или величину обратно пропорциональную вероятности состояния {\frac{N}{2}}. Но вся засада в этом "почти". Ведь гамма функция от дробного числа лишает такого простого смысла. Но именно она делает справедливой данную формулу для любых целых N, именно в ней заложена взаимосвязь элемента и множества. Возможно какое то отображение друг на друга. Именно благодаря ей \pi приобретает смысл инварианта состояния независимо от размера множества.
Существуют также аналоги числа \pi для разбиения множеств m- ричных элементов на m равных частей , которые являются инвариантами относительно размера множества - N.
Предлагаю ознакомиться со свойствами функции, порождающей множество \pi-подобных констант.
1). \pi(m)= \left(m^N\frac{\Gamma(\frac{m+N}{m})\Gamma(\frac{m+N-1}{m})...\Gamma(\frac{N+1}{m})}{\Gamma(N+1)}\right)^m =(\frac{(2\pi)^{m-1}}{m})^\frac{m}{2}, где N - количество m- ричных элементов множества.

2).\lim_{m\to\infty} \left(\frac{\pi(m)}{\pi(m-1)}\right) = (\pi^{\frac{1}{m}}(m)\sqrt m)^{\frac{1}{m-1}}
      = \sqrt{2\pi(2)}

3). Известна кси функция Римана:
R(m)=\frac{\Gamma(\frac{m-1}{2})}{2\pi^{\frac{m+1}{2}}},
Получено следующее выражение:
R(m-1)R(m-2)=\frac{\Gamma(m-1)}{2m\pi^{\frac{2}{m}}(m)}=\frac{\Gamma(m-1)}{2^m\pi^{m-1}}.

4). \pi(m)=\pi^{\frac{m^2-2}{k^2-2}}(k)(\frac{k^\frac{m-1}{k-1}}{m})^{\frac{m}{2}}

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение03.03.2014, 06:17 


23/05/12

1245
Подобных интерпретаций может быть множество, имхо.
Рисуем квадрат со стороной 1 и вписываем в квадрат окружность с радиусом 1.
Бросаем на "равномерную удачу" в квадрат точки.
Число точек, попавших в круг с радиусом 1, разделим на общее число точек, получим число пи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение03.03.2014, 07:50 


23/05/12

1245
*в предыдущем сообщении куча ошибок, не могу исправить
$\pi/4=\pi r^2 / (2 r)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение03.03.2014, 08:20 
Заблокирован


17/02/14

67
Во первых, в Вашем опыте с бросанием в мишень получится величина $\frac{\pi}{4}$, во вторых, рисуя круг вы неявным образом задаете $\pi$, а затем его просто выводите из геометрии круга. По сути Вы используете готовую формулу для площади круга и выражаете из нее $\pi$. Здесь нет никакого комбинаторного подхода. А вопрос заключался в том, чтоб выразить данную величину комбинаторно как свойство некоего множества, возможно имеющего сложную структуру элементов (к примеру фрактальную), являющуюся инвариантом по отношению к размеру множества, и зависящую только от структуры элементов и связей между элементами, которые и требуется определить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение03.03.2014, 14:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Бесконечная плоскость разлинована параллельными прямыми, расположенных на расстоянии 2 спички друг от дружки. Кидаем спичку на плоскость случайным образом. Отношение числа бросков к числу пересечений с какой-нибудь из прямых будет $\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение03.03.2014, 17:36 
Заблокирован


17/02/14

67
[url=http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=832215#p832215]Subject: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
bot wrote:
Бесконечная плоскость разлинована параллельными прямыми, расположенных на расстоянии 2 спички друг от дружки. Кидаем спичку на плоскость случайным образом. Отношение числа бросков к числу пересечений с какой-нибудь из прямых будет $\pi$.



1). Данное утверждение не очевидно, в связи с этим прошу дать ссылку на доказательство, либо само доказательство, а так же уточнение по поводу разлиновки, она в линию или в клетку? А так же по поводу распределения вероятности, она равномерна по всей плоскости или же бросание происходит из одной точки?
2). На мой взгляд данный опыт - это проявление свойства пространства, так же как и отношение квадрата диаметра к площади круга. Отличие здесь заключается в том, что круг мы чертим не циркулем, а случайно брошеной спичкой. Так к примеру разброс дроби при выстреле из ружья стремится к площади круга.
3). Я думаю в данном примере ни о каком комбинаторно множественном выражении $\pi$ речи так же не идет как и в предыдущем, в обеих случаях констатируется факт,полученный эмпирически. Однако окончательный вывод после знакомства с доказательством.
Постановка задачи заключается в отыскании вероятностного смысла числа $\pi$, как комбинаторной характеристики некоего множества. Точнее даже смысл этот предположен, а необходимо построить множество, подходящее под данный смысл, отыскать структуру его элементов (возможно рекурсивную или фрактальную) и характер взаимосвязи между элементами.
Так же было показано, что $\pi$ является инвариантом относительно размера множества. И была показана функция, порождающая ряд $\pi$ - подобных трансцендентых констант, так же являющихся инвариантами относительно размера множества. Было показано, что данные константы возможно связаны с симметричными разбиениями множества.

 i  Deggial: Gobino, формулы обрамляйте долларами - тег math проставиться сам и шрифт красивее. Цитаты оформляйте тегом quote.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение03.03.2014, 17:56 


23/05/12

1245
Перестановки связаны с факториалами, факториалы с числом пи (формула Стирлинга).
Биноминальное распределение связано с факториалами, нормальное с биноминальным и следовательно с числом пи.
Вот везде и выплывает пи :)

-- 03.03.2014, 19:09 --

По поводу разлинованной плоскости, погуглите "задача Бюффона, игла Бюффона".

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение04.03.2014, 05:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Иглу Бюффона (без упоминания имени) встретил в глубоком детстве в какой-то популярной книжке, возможно у Я.И.Перельмана. Обоснование базировалось на двух тезисах.
Вероятностьь пересечения
1) пропорциональна длине иглы.
2) не зависит от формы иглы.
Остальное просто. Берём иглу длины $\pi$ и сгибаем её в окружность ...
Первый тезис не вызвал возражений, чего не могу сказать о втором. Как он обосновывается - не знаю до сих пор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение04.03.2014, 07:42 
Заслуженный участник


04/05/09
4587
Ну как же, оба тезиса - следствия аддитивности матожидания. Разбиваем иголку на маленькие участки...

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение04.03.2014, 07:59 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Можно еще вспомнить про вероятность того, что два произвольно выбранных натуральных числа будут взаимно простыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение04.03.2014, 08:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
venco в сообщении #832465 писал(а):
Разбиваем иголку на маленькие участки...

Вот это и вызывает некоторый дискомфорт даже сейчас. Почему совместное падение кусочков равнозначно независимому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение04.03.2014, 09:46 


23/02/12
3357
Cash в сообщении #832467 писал(а):
Можно еще вспомнить про вероятность того, что два произвольно выбранных натуральных числа будут взаимно простыми.

Можно подробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение04.03.2014, 11:55 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Известная задача. В нестрогой формулировке звучит так: вероятность того, что два наугад выбранных натуральных числа будут взаимно простыми равна $\frac6{\pi^2}$

-- Вт мар 04, 2014 13:14:47 --

Весьма нестрогое доказательство:
Пусть эта вероятность равна $p$. Тогда вероятность того, что $\gcd(m,n)=d$ равна вероятности одновременного выполнения трех независимых событий: $m$ кратно $d$, $n$ кратно $d$, а также $\gcd(\frac md,\frac nd)=1$. То есть равна $\frac p{d^2}$. Суммируя по всем $d$ получаем:
$1 = p(1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2} + \ldots)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение04.03.2014, 16:26 
Заблокирован


17/02/14

67
Спасибо всем кто откликнулся на вопрос темы и поделился идеями. В свете того что мне удалось преобразовать выражение для $\pi$ к комбинаторному виду $\pi={(\frac{2^N}{N})}^2C_N^\frac{N}{2}C_{N-1}^\frac{N-1}{2}$, попробую переформулировать вопрос. Имеет ли комбинаторный смысл сочетание из целого по дробному?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?
Сообщение04.03.2014, 16:54 
Заслуженный участник


04/05/09
4587
bot в сообщении #832469 писал(а):
Вот это и вызывает некоторый дискомфорт даже сейчас. Почему совместное падение кусочков равнозначно независимому?
Дискомфорт есть, но факт остаётся фактом, матожидание суммы даже сильно зависимых случайных величин равно сумме матожиданий.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group