лагранжева система

[Oleg Zubelevich]

Найти период малых колебаний системы с лагранжианом

$$L(s,\dot s)=\frac{a}{s}\dot s^2-b s,\quad a,b=const>0$$

в окрестности точки $s=0$

[Утундрий]

точку на бесконечность погулять отпускаем?

[Утундрий]

И тишина... Ну, предположим, что отпускаем. Тогда, вроде бы ${{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } b}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} b}$.

[Oleg Zubelevich]

$4\pi\sqrt{a/b}$

[Утундрий]

А $s$ у аффтара получается в виде косинуса в отрицательной степени?

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #832044 писал(а):

А $s$ у аффтара получается в виде косинуса в отрицательной степени?

своих достижений мне пожалуйста не приписывайте

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #832046 писал(а):

своих достижений мне пожалуйста не приписывайте

Переведите на русский.

[Ms-dos4]

У меня вышло $\[T = \frac{{4\pi a}}{{\sqrt {b(2a - 1)} }}\]$

Утундрий
А почему в отрицательной то? Степень вроде $\[\frac{{2a}}{{2a - 1}}\]$, тут от $\[a\]$ зависит.

[Утундрий]

Вот уже и третий ответ

[m_sb]

Oleg Zubelevich в сообщении #832014 писал(а):

$4\pi\sqrt{a/b}$

У меня почему-то в корень из двух раз меньше получилось.

[Утундрий]

$$ \begin{gathered} L\left( {x,\dot x} \right) = a\frac{{\dot x^2 }} {x} - bx \hfill \\ \delta \int {Ldt} = \int {\left( {L_x \delta x + L_{\dot x} \delta \dot x} \right)} dt = \int {\left( {L_x - \frac{d} {{dt}}L_{\dot x} } \right)} \delta xdt = 0 \hfill \\ p \equiv L_{\dot x} = 2a\frac{{\dot x}} {x} \hfill \\ \dot p = L_x = - ap^2 - b \equiv - a\left( {p^2 + p_0^2 } \right) \hfill \\ p_0^2 \equiv \frac{b} {a} \hfill \\ \end{gathered} \] $$

...о, тут я корень забыл извлечь...

$$ \[ \begin{gathered} - adt = \frac{{dp}} {{p^2 + p_0^2 }} = d\left( {\frac{1} {{p_0 }}\operatorname{arctg} \frac{p} {{p_0 }}} \right) \hfill \\ p = p_0 \operatorname{tg} \left[ {p_0 a\left( {t_0 - t} \right)} \right] \hfill \\ d\left( {\ln x} \right) = \frac{{p_0 }} {{2a}}\operatorname{tg} \left[ {p_0 a\left( {t_0 - t} \right)} \right]dt = d\left\{ {\frac{1} {{2a^2 }}\ln \left[ {\cos \left( {p_0 a\left( {t_0 - t} \right)} \right)} \right]} \right\} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

...а тут минус потерял...

$$ \[ \begin{gathered} x \propto \cos ^{\frac{1} {{2a^2 }}} \left[ {p_0 a\left( {t_0 - t} \right)} \right] \hfill \\ T = \frac{{2\pi }} {{p_0 a}} = 2\pi \sqrt {\frac{a} {b}} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Может, впрочем, ещё где ошибся. Нудно всё это...

[Oleg Zubelevich]

$s=x^2$

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #832079 писал(а):

$s=x^2$

Не правда, $s=x$.

[Ms-dos4]

Прошу прощения, я ошибся в предыдущий раз (забыл слагаемое в $\[\frac{{\partial L}}{{\partial s}}\]$), исправляюсь
Имеем уравнение ЭЛ в виде
$\[2as\ddot s - a{{\dot s}^2} + b{s^2} = 0\]$
или, $\[s\ddot s - \frac{1}{2}{{\dot s}^2} + \frac{b}{{2a}}{s^2} = 0\]$.
Линеаризуем его подстановкой $\[s = {\xi ^2}\]$.
Имеем $\[\ddot \xi + \frac{b}{{4a}}\xi = 0\]$.
Решая его и возвращаясь к исходному переменному
$\[s(t) = C{\cos ^2}(\frac{1}{2}\sqrt {\frac{b}{a}} (t - {\varphi _0}))\]$
Т.е. период $ \[T = 2\pi \cdot 2\sqrt {\frac{a}{b}} = 4\pi \sqrt {\frac{a}{b}} \]$. Выходит Oleg Zubelevich прав.

[Oleg Zubelevich]

Ms-dos4 в сообщении #832141 писал(а):

Линеаризуем его подстановкой $\[s = {\xi ^2}\]$.

эту подстановку удобно делать сразу в лагранжиан, и еще функция $\cos^2$ всетаки $\pi$ периодическая, так, что у меня там где-то двойка лишняя