2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 15:16 


10/02/11
6786
Найти период малых колебаний системы с лагранжианом
$$L(s,\dot s)=\frac{a}{s}\dot s^2-b s,\quad a,b=const>0$$
в окрестности точки $s=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11537
точку на бесконечность погулять отпускаем?

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11537
И тишина... Ну, предположим, что отпускаем. Тогда, вроде бы ${{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } b}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} b}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 19:16 


10/02/11
6786
$4\pi\sqrt{a/b}$

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11537
А $s$ у аффтара получается в виде косинуса в отрицательной степени?

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 20:45 


10/02/11
6786
Утундрий в сообщении #832044 писал(а):
А $s$ у аффтара получается в виде косинуса в отрицательной степени?

своих достижений мне пожалуйста не приписывайте

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11537
Oleg Zubelevich в сообщении #832046 писал(а):
своих достижений мне пожалуйста не приписывайте

Переведите на русский.

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 20:59 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
У меня вышло $\[T = \frac{{4\pi a}}{{\sqrt {b(2a - 1)} }}\]$

Утундрий
А почему в отрицательной то? Степень вроде $\[\frac{{2a}}{{2a - 1}}\]$, тут от $\[a\]$ зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11537
Вот уже и третий ответ :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 21:32 


12/04/12
78
Петербург
Oleg Zubelevich в сообщении #832014 писал(а):
$4\pi\sqrt{a/b}$

У меня почему-то в корень из двух раз меньше получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11537
$$
\begin{gathered}
  L\left( {x,\dot x} \right) = a\frac{{\dot x^2 }}
{x} - bx \hfill \\
  \delta \int {Ldt}  = \int {\left( {L_x \delta x + L_{\dot x} \delta \dot x} \right)} dt = \int {\left( {L_x  - \frac{d}
{{dt}}L_{\dot x} } \right)} \delta xdt = 0 \hfill \\
  p \equiv L_{\dot x}  = 2a\frac{{\dot x}}
{x} \hfill \\
  \dot p = L_x  =  - ap^2  - b \equiv  - a\left( {p^2  + p_0^2 } \right) \hfill \\
  p_0^2  \equiv \frac{b}
{a} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$
...о, тут я корень забыл извлечь...
$$
\[
\begin{gathered}
   - adt = \frac{{dp}}
{{p^2  + p_0^2 }} = d\left( {\frac{1}
{{p_0 }}\operatorname{arctg} \frac{p}
{{p_0 }}} \right) \hfill \\
  p = p_0 \operatorname{tg} \left[ {p_0 a\left( {t_0  - t} \right)} \right] \hfill \\
  d\left( {\ln x} \right) = \frac{{p_0 }}
{{2a}}\operatorname{tg} \left[ {p_0 a\left( {t_0  - t} \right)} \right]dt = d\left\{ {\frac{1}
{{2a^2 }}\ln \left[ {\cos \left( {p_0 a\left( {t_0  - t} \right)} \right)} \right]} \right\} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$$
...а тут минус потерял...
$$
\[
\begin{gathered}
  x \propto \cos ^{\frac{1}
{{2a^2 }}} \left[ {p_0 a\left( {t_0  - t} \right)} \right] \hfill \\
  T = \frac{{2\pi }}
{{p_0 a}} = 2\pi \sqrt {\frac{a}
{b}}  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$$
Может, впрочем, ещё где ошибся. Нудно всё это...

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 21:50 


10/02/11
6786
$s=x^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11537
Oleg Zubelevich в сообщении #832079 писал(а):
$s=x^2$

Не правда, $s=x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение03.03.2014, 03:17 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Прошу прощения, я ошибся в предыдущий раз (забыл слагаемое в $\[\frac{{\partial L}}{{\partial s}}\]$), исправляюсь
Имеем уравнение ЭЛ в виде
$\[2as\ddot s - a{{\dot s}^2} + b{s^2} = 0\]$
или, $\[s\ddot s - \frac{1}{2}{{\dot s}^2} + \frac{b}{{2a}}{s^2} = 0\]$.
Линеаризуем его подстановкой $\[s = {\xi ^2}\]$.
Имеем $\[\ddot \xi  + \frac{b}{{4a}}\xi  = 0\]$.
Решая его и возвращаясь к исходному переменному
$\[s(t) = C{\cos ^2}(\frac{1}{2}\sqrt {\frac{b}{a}} (t - {\varphi _0}))\]$
Т.е. период $ \[T = 2\pi  \cdot 2\sqrt {\frac{a}{b}}  = 4\pi \sqrt {\frac{a}{b}} \]$. Выходит Oleg Zubelevich прав.

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжева система
Сообщение03.03.2014, 09:13 


10/02/11
6786
Ms-dos4 в сообщении #832141 писал(а):
Линеаризуем его подстановкой $\[s = {\xi ^2}\]$.

эту подстановку удобно делать сразу в лагранжиан, и еще функция $\cos^2$ всетаки $\pi$ периодическая, так, что у меня там где-то двойка лишняя

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group