2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 15:16 
Найти период малых колебаний системы с лагранжианом
$$L(s,\dot s)=\frac{a}{s}\dot s^2-b s,\quad a,b=const>0$$
в окрестности точки $s=0$

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 17:48 
Аватара пользователя
точку на бесконечность погулять отпускаем?

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 19:02 
Аватара пользователя
И тишина... Ну, предположим, что отпускаем. Тогда, вроде бы ${{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } b}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} b}$.

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 19:16 
$4\pi\sqrt{a/b}$

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 20:43 
Аватара пользователя
А $s$ у аффтара получается в виде косинуса в отрицательной степени?

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 20:45 
Утундрий в сообщении #832044 писал(а):
А $s$ у аффтара получается в виде косинуса в отрицательной степени?

своих достижений мне пожалуйста не приписывайте

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 20:48 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #832046 писал(а):
своих достижений мне пожалуйста не приписывайте

Переведите на русский.

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 20:59 
У меня вышло $\[T = \frac{{4\pi a}}{{\sqrt {b(2a - 1)} }}\]$

Утундрий
А почему в отрицательной то? Степень вроде $\[\frac{{2a}}{{2a - 1}}\]$, тут от $\[a\]$ зависит.

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 21:21 
Аватара пользователя
Вот уже и третий ответ :mrgreen:

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 21:32 
Oleg Zubelevich в сообщении #832014 писал(а):
$4\pi\sqrt{a/b}$

У меня почему-то в корень из двух раз меньше получилось.

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 21:40 
Аватара пользователя
$$
\begin{gathered}
  L\left( {x,\dot x} \right) = a\frac{{\dot x^2 }}
{x} - bx \hfill \\
  \delta \int {Ldt}  = \int {\left( {L_x \delta x + L_{\dot x} \delta \dot x} \right)} dt = \int {\left( {L_x  - \frac{d}
{{dt}}L_{\dot x} } \right)} \delta xdt = 0 \hfill \\
  p \equiv L_{\dot x}  = 2a\frac{{\dot x}}
{x} \hfill \\
  \dot p = L_x  =  - ap^2  - b \equiv  - a\left( {p^2  + p_0^2 } \right) \hfill \\
  p_0^2  \equiv \frac{b}
{a} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$
...о, тут я корень забыл извлечь...
$$
\[
\begin{gathered}
   - adt = \frac{{dp}}
{{p^2  + p_0^2 }} = d\left( {\frac{1}
{{p_0 }}\operatorname{arctg} \frac{p}
{{p_0 }}} \right) \hfill \\
  p = p_0 \operatorname{tg} \left[ {p_0 a\left( {t_0  - t} \right)} \right] \hfill \\
  d\left( {\ln x} \right) = \frac{{p_0 }}
{{2a}}\operatorname{tg} \left[ {p_0 a\left( {t_0  - t} \right)} \right]dt = d\left\{ {\frac{1}
{{2a^2 }}\ln \left[ {\cos \left( {p_0 a\left( {t_0  - t} \right)} \right)} \right]} \right\} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$$
...а тут минус потерял...
$$
\[
\begin{gathered}
  x \propto \cos ^{\frac{1}
{{2a^2 }}} \left[ {p_0 a\left( {t_0  - t} \right)} \right] \hfill \\
  T = \frac{{2\pi }}
{{p_0 a}} = 2\pi \sqrt {\frac{a}
{b}}  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$$
Может, впрочем, ещё где ошибся. Нудно всё это...

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 21:50 
$s=x^2$

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение02.03.2014, 21:54 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #832079 писал(а):
$s=x^2$

Не правда, $s=x$.

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение03.03.2014, 03:17 
Прошу прощения, я ошибся в предыдущий раз (забыл слагаемое в $\[\frac{{\partial L}}{{\partial s}}\]$), исправляюсь
Имеем уравнение ЭЛ в виде
$\[2as\ddot s - a{{\dot s}^2} + b{s^2} = 0\]$
или, $\[s\ddot s - \frac{1}{2}{{\dot s}^2} + \frac{b}{{2a}}{s^2} = 0\]$.
Линеаризуем его подстановкой $\[s = {\xi ^2}\]$.
Имеем $\[\ddot \xi  + \frac{b}{{4a}}\xi  = 0\]$.
Решая его и возвращаясь к исходному переменному
$\[s(t) = C{\cos ^2}(\frac{1}{2}\sqrt {\frac{b}{a}} (t - {\varphi _0}))\]$
Т.е. период $ \[T = 2\pi  \cdot 2\sqrt {\frac{a}{b}}  = 4\pi \sqrt {\frac{a}{b}} \]$. Выходит Oleg Zubelevich прав.

 
 
 
 Re: лагранжева система
Сообщение03.03.2014, 09:13 
Ms-dos4 в сообщении #832141 писал(а):
Линеаризуем его подстановкой $\[s = {\xi ^2}\]$.

эту подстановку удобно делать сразу в лагранжиан, и еще функция $\cos^2$ всетаки $\pi$ периодическая, так, что у меня там где-то двойка лишняя

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group