Wanted: формула для координат фокуса произвольной коники.

[Алексей К.]

$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0.$$

План получения искомой формулы у меня, конечно, имеется. Возьму центр, в знаменателе которого будет $B^2-AC$ (ноль в случае параболы), из инвариантов сосчитаю полурасстояние между фокусами, в знаменателе которого наверняка будет $B^2-AC$ (ноль в случае параболы), вычислю главный собственный вектор, к центру прибавлю-вычту это расстояние в направлении того вектора. И, полагаю, в критическом параболическом случае один из этих $(\pm)$ вариантов сработает: перенесение иррациональностей вверх или вниз превратит одно из этих $\frac{\xi}0\pm\frac{\eta}0$ во что-то приличное (работающее также и так же для эллипса-гиперболы), а второе сделает ожидаемой (в критическом случае) бесконечностью.

Муторно, при моих способностях несколько часов уйдёт, а то и весь день. Весь завтрашний солнечный выходной день.

Может, кто-то уже всё это пережил и поделится готовым решением?

Я пока считаюсь Довольно Заслуженным Участником, никак не халявщиком, и, полагаю, санкций за сообщение мне и миру готовой формулы не последует.

Думаю, задачка могла бы быть поставлена как поиск фокуса, ближайщего к началу координат, и в такой постановке случай параболы был бы ординарным. Мне вот именно такой фокус нужен, ближайший.

[arseniiv]

А почему бы не в однородных координатах? Там

$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dxz+2Eyz+Fz^2=0,$$

и, может, кое-какие из неудобностей исчезнут? Я тоже всё забыл, но кажется, что формула тут получится проще, если получится.

[Алексей К.]

Я честно попросил халяву. Если вдруг кому известно.

arseniiv в сообщении #831849 писал(а):

Я тоже всё забыл

В каком смысле тоже? В кониках я ничего не забыл.

-- 02 мар 2014, 00:42:20 --

arseniiv в сообщении #831849 писал(а):

но кажется, что формула тут получится проще,

Двояко читается:

1. Процесс получения формулы будет проще.
Не знаю, опыта маловато в проективных координатах, и в математике вообще. Да и не особо верю: поиск общего множителя для разрешения неопределённости типа $\frac00$ в однородных координатах понадобитя в той же мере. И это обычно тривиально.

2. Собственно формула будет проще.
Невозможно: переход к однородным координатам смысла величин $A,B,\ldots F$ вроде не меняет, формула не должна как-то от этого зависеть.

[Xaositect]

Уравнение коники с фокусом в начале координат имеет вид $k^2(x^2 + y^2) = (ax + by + c)^2$, то есть для коэффициентов должны выполняться условия $FB = DE$, $F(A - C) = D^2 - E^2$. Теперь осталось подобрать параллельный перенос $x\mapsto x_0 + x'$, $y\mapsto y_0 + y'$, при котором эти соотношения будут выполняться, т.е. $(F + Ax_0^2 + 2Bx_0y_0 + Cy_0^2)B = (D + Ax_0 + By_0)(E + Bx_0 + Cy_0)$, $(F + Ax_0^2 + 2Bx_0y_0 + Cy_0^2)(A - C) = (D + Ax_0 + By_0)^2 - (E + Bx_0 + Cy_0)^2$ (перепроверьте) и надо решить систему двух квадратных уравнений у которой должны быть 2 решения, думаю, это уже стандартная задача.

[Алексей К.]

Спасибо, такой подход мною не думался.

[arseniiv]

(2 Алексей К..)

Алексей К. в сообщении #831852 писал(а):

В каком смысле тоже? В кониках я ничего не забыл.

Не в этом. Видимо, не то слово, а какое — забыл…

Алексей К. в сообщении #831852 писал(а):

Двояко читается:

1. Процесс получения формулы будет проще.
Не знаю, опыта маловато в проективных координатах, и в математике вообще. Да и не особо верю: поиск общего множителя для разрешения неопределённости типа $\frac00$ в однородных координатах понадобитя в той же мере. И это обычно тривиально.

Да, хотелось иметь в виду это, но уже поздно.

[Алексей К.]

Xaositect в сообщении #831853 писал(а):

Уравнение коники с фокусом в центре координат имеет вид $k^2(x^2 + y^2) = (ax + by + c)^2$,

И даже так:

$$k\left[ x^2+y^2-(xe\cos\xi+ye\sin\xi-f)^2 \right]=0.$$

Там эксцентриситет, фокальный параметр и угол поворота в некое каноническое положение (с фокусом в начале координат), а именно

$$y^2+x^2(1-e^2)+2efx-f^2=0.$$

-- 02 мар 2014, 01:31:19 --

arseniiv в сообщении #831857 писал(а):

но уже поздно.

Ничего не поздно. Завтрашний солнечный выходной пока можно считать ещё не наступившим.

[Алексей К.]

Xaositect в сообщении #831853 писал(а):

т.е. $(F + Ax_0^2 + 2Bx_0y_0 + Cy_0^2)B = (D + Ax_0 + By_0)(E + Bx_0 + Cy_0)$, ... (перепроверьте)

т.е. $(F + Ax_0^2 + 2Bx_0y_0 + Cy_0^2+2Dx_0+2Ey_0)B = (D + Ax_0 + By_0)(E + Bx_0 + Cy_0)$.

-- 02 мар 2014, 14:22:28 --

Xaositect в сообщении #831853 писал(а):

и надо решить систему двух квадратных уравнений у которой должны быть 2 решения, думаю, это уже стандартная задача.

Два решения? А у не_парабол вроде 4 фокуса (два мнимых).

[Kshvorowiszm]

Вот тут есть некоторое вычисление с коэффициентами. В этом я особо не разбираюсь, но может вы найдёте формулу для фокусов. http://research.microsoft.com/en-us/um/ ... lipse.html
Оно хоть и зовётся Брэзэнхемский эллипс, на самом деле, кажется, строит все кривые второго порядка.