Дифференциальная геометрия

[Felt]

Найти уравнение кривой, если известно, что длина отрезка касательной между точкой касания и точкой пересечения касательной с осью Х постоянна и равна а.

Уравнение касательной в параметрическом виде
$x=r_1(t)+\dot r_1(t) \lambda$
$y=r_2(t)+\dot r_2(t) \lambda$
Принимаю во внимание, что при пересечении касательной с осью Х должно быть выполнено условие
$x_0=r_1(t)+\dot r_1(t) \lambda_0$
$0=r_2(t)+\dot r_2(t) \lambda_0$
Выражаю $\lambda$ через параметрические уравнения прямой, подставляю в выражение для х, получаю
$x=r_1(t)-\frac{\dot r_1(t) r_2(t)}{\dot r_2(t)}$
Получил таким образом координату пересечения касательной с ось Х. Затем, чтобы получить вектор направленный от точки касания к точке пересечения с осью Х, я отнимаю

$$ \begin{pmatrix} r(t)\\ r(t)\\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} r_1(t)-\frac{\dot r_1(t) \r_2(t)}{\dot r_2(t)}\\ 0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{\dot r_1(t) r_2(t)}{\dot r_2(t)}\\ r_2(t)\\ \end{pmatrix}$$

Дальше это можно записать как
$\frac{\dot r_1(t)^2 r_2(t)^2}{\dot r_2(t)^2}+r_2(t)^2=a^2$ Что делать с этим дифференциальным уравнением уже не придумаю

-- 25.02.2014, 19:51 --

Почему-то не высвечивается то, что я записывал как векторы, хотя в другом LaTeX редакторе всё отображается...

[Алексей К.]

Думаю, кривую надо искать в виде $y=f(x)$.

-- 25 фев 2014, 23:35:36 --

Ибо, если таковая существует, то для неё (одной!) есть более миллиона (разных!) представлений в виде $x(t), y(t)$. Чтобы этот миллион минимизировать, мы должны договориться до какого-нибудь конкретного лишения свободы, например, согласиться на ${x'_t}^2+{y'_t}^2=1$. На это и суд, и следствие обычно всегда соглашаются.
Вам понятно, почему избирают именно такую меру пресечения?

[Felt]

Да, достаточно логичная мера. В получившемся выражении взять под общий знаменатель второй член и получим, что $r_2(t)^2=\dot r_2(t)^2 a^2$ А это уравнение уже можно легко решить

К слову, ответ имеется:
$c \pm x=a \ln \frac{a-\sqrt{a^2-y^2}}{y}+\sqrt{a^2-y^2}$

В ответе имеется константа с, видимо, появившаяся в результате интегрирования. А может как-то иначе.

[Алексей К.]

Felt в сообщении #830637 писал(а):

В ответе имеется константа с, видимо, появившаяся в результате интегрирования

Вряд ли.
В результате интегрирования всегда появлялось $C$ большое.
А это с, похоже, откуда-то из подворотни вылезло.

[Felt]

Ну, в общем, я решил уравнение
$a \dot r_2 \pm r_2=0$
$r_2=C e^{\pm \frac{s}{a}}$
Обозначил здесь параметр через s, потому как приняли, что параметризация естественная.
Затем подставить в условие естественной параметризации и проинтегрировать. Выходит
$r_1=s-C e^{\pm \frac{s}{a}}+D$
Константы вылезло две, но раз удовлетворяют всем условиям эти выражения, то почему бы им не быть верными

-- 25.02.2014, 21:13 --

Пардон-пардон, не учёл квадраты в условии, сейчас подумаю над выходом из положения

[Утундрий]

Имеющийся ответ, как и постановка задачи, неистово намекают на использование декартовых координат.

[Алексей К.]

Felt в сообщении #830642 писал(а):

Константы вылезло две, но раз удовлетворяют всем условиям эти выражения, то почему бы им не быть верными

Каким же это условиям они удовлетворяют?

[Felt]

Алексей К. в сообщении #830648 писал(а):

Каким же это условиям они удовлетворяют?

Дописал дальше, что не учёл, что в условии естественной параметризации забыл про квадраты производных и просто перенёс на другую сторону и проинтегрировал, что на деле совсем неправильно.

Утундрий в сообщении #830646 писал(а):

Имеющийся ответ, как и постановка задачи, неистово намекают на использование декартовых координат.

Вполне понимаю. Но в данном случае у меня это не совсем выходит сделать в декартовых координатах, потому как из выражения в первом получаю дифференциальное уравнение, которое показывает мне вид $r_2(s)$ как $r_2=C e^{\pm \frac{s}{a}}$. Если захотим декартовы, то просто нужно принять, что $x=s$ и использовать это в условии для естественной параметризации. Тогда получим:
$\dot r_1(s)^2+\dot r_2(s)^2=1+\frac{C^2}{a^2} e^{\pm \frac{s}{a}}=1$. Где для С остается только значение 0. В итоге бред. Поэтому скорее потом может быть надо попробовать выразить одно через другое, чтобы получит тот же ответ.

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #830634 писал(а):

Думаю, кривую надо поискать в виде $y=f(x)$.
А потом можно поанализировать случившиеся противоречия.

[svv]

$y'=\dfrac y {\sqrt{a^2-y^2}}$

[Felt]

Напишу сюда же вопрос по дифгему, чтобы не создавать очередную новую тему.

Задача такая: составить уравнение кривой по уравнению соприкосающейся плоскости.
Я начал так:
Пусть
$a (t) x+b (t) y +c (t) z +d(t)=0$ - уравнение прямой и $\vec r(t)=(r_1(t), r_2(t), r_3(t))$ уравнения кривой. Тогда
$a (t) r_1(t)+b (t) r_2(t) +c (t) r_4(t) +d(t)=0$ и так, как касательная в точке t всегда лежит в этой же плоскости, тогда действительно и следующее
$a (t) \dot r_1(t)+b (t) \dot r_2(t) +c (t) \dot r_3(t)=0$
Продифференциру теперь второе выражение по t и получим
$\dot a (t) r_1(t)+ \dot b (t) r_2(t) + \dot c (t) r_3(t) +\dot d(t)+a (t) \dot r_1(t)+b (t) \dot r_2(t) +c (t) \dot r_4(t)=$
$\dot a (t) r_1(t)+ \dot b (t) r_2(t) + \dot c (t) r_4(t) +\dot d(t)=0$. Имею теперь два уравнения для 3 неизвестных, а нужно ещё одно. С другой стороны разумеется соприкасающиеся плоскости однозначно определяют кривизну, но она выражается либо производной от бинормали в случае естественной параметризации кривой, либо с помощью первой, второй и третьей производной кривой, что в данном случае страшное усложнение и ненужные дифференциальные уравнения. Если записывать через определение, то там неизбежно появится аркосинус или арксинус и надо как-то выражать длину кривой, что тоже не совсем просто.

[Алексей К.]

Felt в сообщении #831854 писал(а):

Пусть $a (t) x+b (t) y +c (t) z +d(t)=0$ - уравнение прямой

Чо-то тут не так. Типа "пусть пирожок с капустой - пирожок с мясом".

[Felt]

Алексей К. в сообщении #831863 писал(а):

Чо-то тут не так. Типа "пусть пирожок с капустой - пирожок с мясом".

Это я некорректно выразился :) Это дано в условии, никаких "пусть" что соприкасающаяся плоскость дана таким уравнением и это, конечно, плоскость, а не прямая. Дальше не должно быть опечаток с моей стороны больше

-- 01.03.2014, 23:17 --

И да, добавлю, что когда я говорю о "двух уравнениях с тремя неизвестными" я имею в виду неизвестные $r_1(t), r_2(t), r_3(t)$ и t рассматриваю как константу. Впрочем, это и так ясно из того, что я хочу получить

[Алексей К.]

О том, что все Ваши $r_4$ следует понимать как $r_3$ (опечатку), можно не писать: уж коли я догадался, другие или догадаются, или даже не заметят.

[Felt]

Добавил ещё одно уравнение - но в этот раз не совсем красиво выйдет:
Так как это соприкосающаяся плоскость, то в ней лежит не только первая производная кривой, но и вторая(если поместить плоскость в начале координат, то есть откинуть d). Тогда можно записать:
$a \ddot r_1+b \ddot r_2 + c \ddot r_3=0$, затем продифференцировать последнее выражение в предпоследнем сообщении и получим:
$\dot a \dot r_1+\dot b \dot r_2 + \dot c \dot r_3 + \dot d +a \ddot r_1+b \ddot r_2 + c \ddot r_3=\dot a \dot r_1+\dot b \dot r_2 + \dot c \dot r_3 + \dot d=0$
Тогда есть три уравнения, но в третьем уже первые производные, что не очень хорошо