2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Дифференциальная геометрия
Сообщение25.02.2014, 21:50 


20/12/13
139
Найти уравнение кривой, если известно, что длина отрезка касательной между точкой касания и точкой пересечения касательной с осью Х постоянна и равна а.

Уравнение касательной в параметрическом виде
$x=r_1(t)+\dot r_1(t) \lambda$
$y=r_2(t)+\dot r_2(t) \lambda$
Принимаю во внимание, что при пересечении касательной с осью Х должно быть выполнено условие
$x_0=r_1(t)+\dot r_1(t) \lambda_0$
$0=r_2(t)+\dot r_2(t) \lambda_0$
Выражаю $\lambda$ через параметрические уравнения прямой, подставляю в выражение для х, получаю
$x=r_1(t)-\frac{\dot r_1(t) r_2(t)}{\dot r_2(t)}$
Получил таким образом координату пересечения касательной с ось Х. Затем, чтобы получить вектор направленный от точки касания к точке пересечения с осью Х, я отнимаю
$$ \begin{pmatrix}
r(t)\\ 
r(t)\\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
r_1(t)-\frac{\dot r_1(t) \r_2(t)}{\dot r_2(t)}\\ 
0\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\frac{\dot r_1(t) r_2(t)}{\dot r_2(t)}\\ 
r_2(t)\\
\end{pmatrix}$$Дальше это можно записать как
$\frac{\dot r_1(t)^2 r_2(t)^2}{\dot r_2(t)^2}+r_2(t)^2=a^2$ Что делать с этим дифференциальным уравнением уже не придумаю

-- 25.02.2014, 19:51 --

Почему-то не высвечивается то, что я записывал как векторы, хотя в другом LaTeX редакторе всё отображается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение25.02.2014, 22:26 


29/09/06
4552
Думаю, кривую надо искать в виде $y=f(x)$.

-- 25 фев 2014, 23:35:36 --

Ибо, если таковая существует, то для неё (одной!) есть более миллиона (разных!) представлений в виде $x(t), y(t)$. Чтобы этот миллион минимизировать, мы должны договориться до какого-нибудь конкретного лишения свободы, например, согласиться на ${x'_t}^2+{y'_t}^2=1$. На это и суд, и следствие обычно всегда соглашаются.
Вам понятно, почему избирают именно такую меру пресечения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение25.02.2014, 22:50 


20/12/13
139
Да, достаточно логичная мера. В получившемся выражении взять под общий знаменатель второй член и получим, что $r_2(t)^2=\dot r_2(t)^2 a^2$ А это уравнение уже можно легко решить

К слову, ответ имеется:
$c \pm x=a \ln \frac{a-\sqrt{a^2-y^2}}{y}+\sqrt{a^2-y^2}$

В ответе имеется константа с, видимо, появившаяся в результате интегрирования. А может как-то иначе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение25.02.2014, 23:02 


29/09/06
4552
Felt в сообщении #830637 писал(а):
В ответе имеется константа с, видимо, появившаяся в результате интегрирования
Вряд ли.
В результате интегрирования всегда появлялось $C$ большое.
А это с, похоже, откуда-то из подворотни вылезло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение25.02.2014, 23:08 


20/12/13
139
Ну, в общем, я решил уравнение
$a \dot r_2 \pm r_2=0$
$r_2=C e^{\pm \frac{s}{a}}$
Обозначил здесь параметр через s, потому как приняли, что параметризация естественная.
Затем подставить в условие естественной параметризации и проинтегрировать. Выходит
$r_1=s-C e^{\pm \frac{s}{a}}+D$
Константы вылезло две, но раз удовлетворяют всем условиям эти выражения, то почему бы им не быть верными

-- 25.02.2014, 21:13 --

Пардон-пардон, не учёл квадраты в условии, сейчас подумаю над выходом из положения

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение25.02.2014, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Имеющийся ответ, как и постановка задачи, неистово намекают на использование декартовых координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение25.02.2014, 23:26 


29/09/06
4552
Felt в сообщении #830642 писал(а):
Константы вылезло две, но раз удовлетворяют всем условиям эти выражения, то почему бы им не быть верными
Каким же это условиям они удовлетворяют?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение25.02.2014, 23:43 


20/12/13
139
Алексей К. в сообщении #830648 писал(а):
Каким же это условиям они удовлетворяют?

Дописал дальше, что не учёл, что в условии естественной параметризации забыл про квадраты производных и просто перенёс на другую сторону и проинтегрировал, что на деле совсем неправильно.

Утундрий в сообщении #830646 писал(а):
Имеющийся ответ, как и постановка задачи, неистово намекают на использование декартовых координат.


Вполне понимаю. Но в данном случае у меня это не совсем выходит сделать в декартовых координатах, потому как из выражения в первом получаю дифференциальное уравнение, которое показывает мне вид $r_2(s)$ как $r_2=C e^{\pm \frac{s}{a}}$. Если захотим декартовы, то просто нужно принять, что $x=s$ и использовать это в условии для естественной параметризации. Тогда получим:
$\dot r_1(s)^2+\dot r_2(s)^2=1+\frac{C^2}{a^2} e^{\pm \frac{s}{a}}=1$. Где для С остается только значение 0. В итоге бред. Поэтому скорее потом может быть надо попробовать выразить одно через другое, чтобы получит тот же ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение25.02.2014, 23:49 


29/09/06
4552
Алексей К. в сообщении #830634 писал(а):
Думаю, кривую надо поискать в виде $y=f(x)$.
А потом можно поанализировать случившиеся противоречия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение26.02.2014, 00:26 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Изображение

$y'=\dfrac y {\sqrt{a^2-y^2}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение01.03.2014, 23:57 


20/12/13
139
Напишу сюда же вопрос по дифгему, чтобы не создавать очередную новую тему.

Задача такая: составить уравнение кривой по уравнению соприкосающейся плоскости.
Я начал так:
Пусть
$a (t) x+b (t) y +c (t) z +d(t)=0$ - уравнение прямой и $\vec r(t)=(r_1(t), r_2(t), r_3(t))$ уравнения кривой. Тогда
$a (t) r_1(t)+b (t) r_2(t) +c (t) r_4(t) +d(t)=0$ и так, как касательная в точке t всегда лежит в этой же плоскости, тогда действительно и следующее
$a (t) \dot r_1(t)+b (t) \dot r_2(t) +c (t) \dot r_3(t)=0$
Продифференциру теперь второе выражение по t и получим
$\dot a (t) r_1(t)+ \dot b (t) r_2(t) + \dot c (t) r_3(t) +\dot d(t)+a (t) \dot r_1(t)+b (t) \dot r_2(t) +c (t) \dot r_4(t)=$
$\dot a (t) r_1(t)+ \dot b (t) r_2(t) + \dot c (t) r_4(t) +\dot d(t)=0$. Имею теперь два уравнения для 3 неизвестных, а нужно ещё одно. С другой стороны разумеется соприкасающиеся плоскости однозначно определяют кривизну, но она выражается либо производной от бинормали в случае естественной параметризации кривой, либо с помощью первой, второй и третьей производной кривой, что в данном случае страшное усложнение и ненужные дифференциальные уравнения. Если записывать через определение, то там неизбежно появится аркосинус или арксинус и надо как-то выражать длину кривой, что тоже не совсем просто.

 Профиль  
                  
 
 Quelque chose ne va pas...
Сообщение02.03.2014, 00:59 


29/09/06
4552
Felt в сообщении #831854 писал(а):
Пусть $a (t) x+b (t) y +c (t) z +d(t)=0$ - уравнение прямой
Чо-то тут не так. Типа "пусть пирожок с капустой - пирожок с мясом".

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение02.03.2014, 01:13 


20/12/13
139
Алексей К. в сообщении #831863 писал(а):
Чо-то тут не так. Типа "пусть пирожок с капустой - пирожок с мясом".

Это я некорректно выразился :) Это дано в условии, никаких "пусть" что соприкасающаяся плоскость дана таким уравнением и это, конечно, плоскость, а не прямая. Дальше не должно быть опечаток с моей стороны больше

-- 01.03.2014, 23:17 --

И да, добавлю, что когда я говорю о "двух уравнениях с тремя неизвестными" я имею в виду неизвестные $r_1(t), r_2(t), r_3(t)$ и t рассматриваю как константу. Впрочем, это и так ясно из того, что я хочу получить

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение02.03.2014, 01:28 


29/09/06
4552
О том, что все Ваши $r_4$ следует понимать как $r_3$ (опечатку), можно не писать: уж коли я догадался, другие или догадаются, или даже не заметят. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная геометрия
Сообщение02.03.2014, 01:29 


20/12/13
139
Добавил ещё одно уравнение - но в этот раз не совсем красиво выйдет:
Так как это соприкосающаяся плоскость, то в ней лежит не только первая производная кривой, но и вторая(если поместить плоскость в начале координат, то есть откинуть d). Тогда можно записать:
$a \ddot r_1+b \ddot r_2 + c \ddot r_3=0$, затем продифференцировать последнее выражение в предпоследнем сообщении и получим:
$\dot a \dot r_1+\dot b \dot r_2 + \dot c \dot r_3 + \dot d +a \ddot r_1+b \ddot r_2 + c \ddot r_3=\dot a \dot r_1+\dot b \dot r_2 + \dot c \dot r_3 + \dot d=0$
Тогда есть три уравнения, но в третьем уже первые производные, что не очень хорошо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group