Красивое неравенство

[Skeptic]

arqady в сообщении #828004 писал(а):

Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{a+b+c}{a+b+c-\sqrt[3]{abc}}$$

У этого неравенства имеется красивое короткое доказательство.

Разделим каждую переменную неравенства на их сумму.

Получим новые переменные: $a_1=\frac{a}{a+b+c}$, $b_1=\frac{b}{a+b+c}$, $c_1=\frac{c}{a+b+c}$,

и новые условия (a_1,b_1,c_1)<1$ и $ a_1+b_1+c_1=1$.

Тогда неравенство примет вид

$$\frac{a_1}{a_1+b_1}+\frac{b_1}{b_1+c_1}+\frac{c_1}{c_1+a_1}\geq\frac{1}{1-\sqrt[3]{a_1b_1c_1}}$$

Используя новые условия, преобразуем неравенство

$$\frac{a_1}{a_1+b_1}+\frac{b_1}{1-a_1}+\frac{c_1}{1-b_1}\geq\frac{1}{1-\sqrt[3]{a_1b_1c_1}}$$

Зафиксируем значения $a_1$ и $b_1$. Тогда левая и правая части неравенства будут зависеть только от переменной $c_1$. Их значения будут монотонно возрастать при возрастании $c_1$. Достаточно проверить неравенство при $c_1=0$ и $c_1=1$, чтобы убедиться в справедливости неравенства при всех значениях $c_1$.

Не уже ли доказал?

[Rak so dna]

Skeptic в сообщении #830806 писал(а):

arqady в сообщении #828004 писал(а):

* * *
Получим новые переменные: $a_1=\frac{a}{a+b+c}$, $b_1=\frac{b}{a+b+c}$, $c_1=\frac{c}{a+b+c}$,

и новые условия (a_1,b_1,c_1)<1$ и $ a_1+b_1+c_1=1$.

* * *

Зафиксируем значения $a_1$ и $b_1$. Тогда левая и правая части неравенства будут зависеть только от переменной $c_1$.

Вот он!! Способ доказательства любого неравенства!! Спасибо!!

[ИСН]

Skeptic в сообщении #830806 писал(а):

Зафиксируем значения $a_1$ и $b_1$.

С учётом

Skeptic в сообщении #830806 писал(а):

$ a_1+b_1+c_1=1$

Вы тем самым зафиксировали и $c_1$.

[VoloCh]

Skeptic в сообщении #830806 писал(а):

Их значения будут монотонно возрастать при возрастании $c_1$. Достаточно проверить неравенство при $c_1=0$ и $c_1=1$, чтобы убедиться в справедливости неравенства при всех значениях $c_1$.

Правильно я понимаю, что вы считаете, что из условий $f(0)\geqslant g(0)$, $f(1)\geqslant g(1)$ и монотонности функций $f(x)$ и $g(x)$ вытекает $f(c)\geqslant g(c)$ при любом $c\in[0,\,1]\,$?

[Rak so dna]

ИСН в сообщении #830847 писал(а):

Skeptic в сообщении #830806 писал(а):

Зафиксируем значения $a_1$ и $b_1$.

С учётом

Skeptic в сообщении #830806 писал(а):

$ a_1+b_1+c_1=1$

Вы тем самым зафиксировали и $c_1$.

А ведь такой мощный инструмент: докажем что $ x^3+x^2-x>0$. Ну пусть $x+y=1$, зафиксируем $y$ и тогда для любого $x$, исходное неравенство равносильно $(1-y)^3+(1-y)^2+y-1>0$ при некотором фиксированом $y$. Убеждаемся проверкой, что при $y=0$ неравенство верно, а значит оно верно и для любого $x$. Красота!!!

[TR63]

arqady в сообщении #830636 писал(а):

sergei1961 в сообщении #830590 писал(а):

А есть обобщения для нескольких чисел, больше трёх?

Естественным обобщением было бы
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\geq\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d-2\sqrt[4]{abcd}}$ для положительных переменных,
но я не вижу верно оно или нет .

Моё поверхностное понимание естественного обобщения.
Каждому набору переменных $(a_1,a_2,...)$ соответствует неравенство, получаемое по одному алгоритму. Получаем упорядоченную цепь неравенств с различным количеством переменных, которая должна обладать общим свойством. arqady,по Вашему алгоритму в случае $n=2$ при радикале коэффициент должен равняться нулю. Тогда получаем тождество. При $n=3$ уже нестрогое неравенство, а не тождество. Надо заменить коэффициент 2 на 1 или искать общее свойство, чтобы получить предварительный результат.

[sergei1961]

Я сдаюсь.

[arqady]

sergei1961, неравенство Коши-Буняковского (Коши-Шварц), записанное в следующем виде, часто помагает при сворачивании суммы дробей.
Для всех $a_i$ и положительных $b_i$ верно следующее неравенство:

$$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\geq\frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$$

[TR63]

С таким вспомагательным неравенством всё становится понятно.
Идея интересная, но сложная (требуется либо опыт, либо изощрённая интуиция).
Для меня с производной всё стандартно и просто (без всяких хитростей). Но сужается область определения, хотя само исходное неравенство усиливается. Поясню.
Если область определения была $(a<c<b)$ и стала $(c<a<b)$, то в доказательстве моём появляется тупик. Можно ли его обойти?
Попробую рассуждать так.
При изменении области определения левая часть исходного неравенства, по заданному алгоритму её построения в прежней области определения, примет вид:
1). Было $a<c<b$. (В этой области определения задаётся алгоритм построения левой части).
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac3 2$

2). Стало $c<a<b$. Следуя алгоритму, получаем, что левая часть, при не нарушении алгоритма её формирования, должна принять вид
$\frac{c}{c+b}+\frac{b}{b+a}+\frac{a}{a+c}\geq\frac3 2$ (это неравенство верно).

Любой другой вид левой части нарушит заданный алгоритм её формирования, т. е. при построении надо соблюдать правила (следить, что за чем следует). Перебрав все возможные варианты областей определения (их число конечно), получаем, что исходное неравенство верно.

[sergei1961]

arqady , спасибо. Хотя с ходу я ещё не понял, но это мои проблемы, буду додумывать потихоньку. Ведь вроде и занимаюсь сам обобщениями неравенства К-Б, пишу про это статьи и обзоры, но вот многих простых вещей не знаю, век учись как говорится.

Не хочу открывать ненужный спор, но с названием Коши-Шварц даже в скобках категорически не согласен. Не из национализма (Буняковского и Остроградского скорее должны украинцы защищать, они там рождены), по факту Шварц тут совершенно не по делу. Он был замечательным математиком, десяток понятий и формул-теорем справедливо названы его именем и по делу, чужое ему не нужно, своего хватит с лихвой.

TR63 - в Вашем посте неравенство 1) неверно, верно только так: >=1, а не 3/2, конкретный набор, на котором в пределе единица достигается я приводил. Или я не прав, это вполне возможно...

[arqady]

(Оффтоп)

sergei1961, это просто общепринятое в большинстве стран мира название.
Казусов подобного рода полно. Например, правило Лопиталя (Йохан Бернулли), уравнение Пелля (Пьер Ферма), неравенство Караматы (Харди, Литлвуд, Пойа).
Что ж прикажете теперь рассказывать школьникам про правило Бернулли (вместо правила Лопиталя)?

[provincialka]

TR63 в сообщении #831635 писал(а):

1). Было $a<c<b$.
2). Стало $c<a<b$.

В этой задаче достаточно рассмотреть случай $a<b<c$. При перестановках правая часть не меняется, а левая может разве что увеличиться.

[TR63]

arqady в сообщении #831657 писал(а):

TR63 - в Вашем посте неравенство 1) неверно, верно только так: >=1, а не 3/2, конкретный набор, на котором в пределе единица достигается я приводил. Или я не прав, это вполне возможно...

Ваш набор не соответствует моей области определения, в которой неравенство верно. (Я уже об этом писала. Вы не обратили внимание.) Тогда посчитаю. Найдите ошибку.
$(t^2,t,1)$=$(a,c,b)$
$\frac{t^2}{t^2+1}+\frac{1}{1+t}+\frac{t}{t+t^2}$
У меня предел равен двум. Может, ошиблась. Где?

-- 01.03.2014, 15:37 --

provincialka,
насчёт перестановок согласна. Правая часть не зависит от алгоритма. В этом смысле она непрерывна. И исходное неравенство достаточно рассмотреть при одном каком-либо алгоритме. Примерно так я думаю. А, могут ли быть другие алгоритмы?

[sergei1961]

arqady-не хочу с Вами спорить, традиция-это действительно серьёзный аргумент. Кстати, я рассказываю именно про правило Бернулли-Лопиталя, они оба это заслужили. Вы не задумывались никогда, почему сказать, что Лебединое озеро написал Шопен, а Войну и мир Бальзак-это ты тогда малограмотный или жлоб, а систематически делать то же самое в математике-это следовать традиции? Конечно, я не знаю тут единственно правильного ответа...


TR63-давайте так. Пусть набор чисел будет всё-таки $(a,b,c)$, как в обсуждаемом неравенстве, а не как Вы его произвольно изменили. Вы зададите, как хотите их упорядоченность, что чего больше, а я переставлю свои три числа, чтобы предел был единица. На самом деле, в классических книгах по неравенствам есть оценка этой суммы для любого числа слагаемых сверху и снизу. Снизу -это 1, сверху-это $n-1$.

[provincialka]

(L'Hôpital)

sergei1961 в сообщении #831798 писал(а):

Кстати, я рассказываю именно про правило Бернулли-Лопиталя, они оба это заслужили.

Я говорю "Лопиталя", но рассказываю историю наименования. Это "бантик", который может способствовать запоминанию. Ну, хоть развлечь немного.