Пересечение непрерывных кривых на плоскости

[at1]

Здравствуйте,
задачи на тему непрерывности для школьников часто заканчиваются сведением к задаче похожей на следующую:
Две непрерывные кривые на плоскости соединяют противоположные углы квадрата. При этом все точки каждой кривой (кроме концов) находятся во внутренности этого квадрата. Доказать, что они имеют хотя бы одну общую точку.

Я с ужасом понимаю, что не умею решать эту базовую задачу. Я бы хотел научиться её решать в следующих определениях:
1. Кривая: $f: [0, 1] \to \mathbb{R}^2$. $f(0), f(1)$ — точки на плоскости, лежащие в противоположных вершинах квадрата.
2. Предел: $\lim\limits_{t\to t_0} f(t) = A \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\quad |t - t_0| < \delta \Rightarrow \text{dist}(A, f(t)) < \varepsilon$.
3. Непрерывность: $f(t)\text{~--- непрерывна} \iff \forall t_0\in [0, 1]\quad \exists\lim\limits_{t\to t_0} f(t) = f(t_0)$.

Кривая может быть совершенно произвольной, а именно: иметь несчётное количество самопересечений, иметь бесконечную длину и прочие гадости, которые можете себе придумать. Главное, чтобы была непрерывна и внутри квадрата.

Я умею доказывать, что если есть множество $X\subset \mathbb{R}^2$ и $f(0)$ — внутренняя точка, а $f(1)$ — внешняя точка, то кривая $f$ будет содержать граничную для $X$ точку.
Но не понимаю, как построить $X$ для данной задачи (множество, границей которого являются стороны квадата и часть одной из кривых).

Буду благодарен за план решения задачи, ссылки по теме и любую другую информацию.

[apriv]

Замкните одну из кривых дугой вне квадрата и посчитайте гомологии дополнения к ней.

[g______d]

Пара кривых — функция на квадрате, значения которой — пары точек квадрата. Рассмотрим вектор из первой точки во вторую и нарисуем его от соответствующей точки области определения. Получим непрерывное векторное поле на квадрате, причем число обхода поля вокруг нуля при обходе вдоль границы будет равно 1 (т. к. на границе оно всегда будет направлено куда нужно).

Дальше есть какое-то стандартное рассуждение про степень отображения, но я его забыл. Но это можно сделать руками; если предположить, что поле не обращается в нуль, то его модуль ограничен снизу, количество обходов должно меняться непрерывно, поэтому при стягивании границы квадрата к центру оно все время будет оставаться равным единице. С другой стороны, если контур достаточно маленький, то поле является маленьким возмущением постоянного с ограниченной снизу длиной, и в силу равномерной непрерывности будет иметь число обхода нуль.

[Nemiroff]

Теорема Брауэра о неподвижной точке?
Только подобрать хорошие функции.

[g______d]

Да, немного более высоконаучно: у нас есть непрерывное отображение $v\colon [0,1]\times[0,1]\to\mathbb R^2$, не обращающееся в нуль. Отображение $v/\|v\|$ будет отображением $[0,1]\times [0,1]\to \mathbb S^1$. Поскольку квадрат гомеоморфен диску, получаем отображение из $\mathbb D^2$ в $\mathbb S^1$. Т. к. диск стягивается в точку, любое такое отображение гомотопно константе. Следовательно, его сужение на границу тоже. У отображения, гомотопного константе, число обходов вокруг нуля равно нулю, противоречие.

Число обходов вокруг нуля определяется так: пусть есть замкнутая кривая и отображение из нее в $\mathbb R^2\setminus \{0\}$. Оно индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп $\mathbb Z\to \mathbb Z$, поэтому является умножением на целое число, это число и есть число обходов.

С помощью теоремы Брауэра для квадрата тоже наверняка можно.

[Nemiroff]

Кто привык за победу бороться,
С нами вместе пускай запоёт:
"Кто весел - тот смеётся, кто хочет - тот добьётся...
http://mathoverflow.net/questions/35514 ... sect-proof

[at1]

Господа, вы все ответили действительно очень высоконаучно. Я же хочу понять, могу ли я рассказать умным школьникам доказательство на кружке. После слов "гомотопно", "посчитайте гомологии" и т.д. я понимаю, что мне нужен семестровый курс, чтобы это объяснить.

Я почти получил подъемное для школьника доказательство: у меня есть "элементарное док-во теоремы Жордана". Осталось показать, что
если есть замкнутая непрерывная кривая, то существует её подмножество, являющееся замкнутой непрерывной кривой без самопересечений.

Простым языком: можно ли выкинуть все петли? Помогите, пожалуйста!

[apriv]

at1 в сообщении #830780 писал(а):

Господа, вы все ответили действительно очень высоконаучно. Я же хочу понять, могу ли я рассказать умным школьникам доказательство на кружке. После слов "гомотопно", "посчитайте гомологии" и т.д. я понимаю, что мне нужен семестровый курс, чтобы это объяснить.

Вполне возможно, что можете, только непонятно, зачем это нужно школьникам: зачем изучать сложное элементарное доказательство вместо простого концептуального?

[g______d]

at1 в сообщении #830780 писал(а):

Я же хочу понять, могу ли я рассказать умным школьникам доказательство на кружке.

Выше была ссылка на mathoverflow. Там упоминается очень простое доказательство: если эти кривые не пересекаются, то расстояние между их точками ограничено снизу положительной величиной (минимум непрерывной функции на $[0,1]\times [0,1]$). Тогда, если эти кривые приблизить ломаными, то они тоже не будут пересекаться, и задача сводится к задаче для ломаных. Это уже отличная задача для кружка.

at1 в сообщении #830780 писал(а):

Я почти получил подъемное для школьника доказательство: у меня есть "элементарное док-во теоремы Жордана".

Поделитесь потом? Я просто не очень уверен, что такое бывает, будет приятно ошибиться. Ваш вопрос существенно проще, чем теорема Жордана.

[SergeyVK]

А почему нельзя рассмотреть каждую кривую как непрерывное отображение отрезка на самого себя?
Разность этих отображений непрерывна и на концах отрезка имеет разные знаки. Значит существует такая точка где эта разность равна нулю. Следовательно кривые имеют общую точку.

[g______d]

SergeyVK в сообщении #830884 писал(а):

А почему нельзя рассмотреть каждую кривую как непрерывное отображение отрезка на самого себя?

Потому что не любая кривая является графиком функции. Для графиков непрерывных функций утверждение, действительно, очевидно.