Красивое неравенство

[Skeptic]

Разделим каждое число на их сумму. Тогда неравенство предстанет в таком виде:

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{1}{1-\sqrt[3]{abc}}$$

числа a,b,c лежат на отрезке (0,1).
После упрощения получаем:

$$\frac{a}{1-c}+\frac{b}{1-a}+\frac{c}{1-b}\geq\sqrt[3]{abc}$$

Каждое слагаемое слева больше числителя, а их сумма больше 1. Правая часть неравенства меньше 1. Неравенство доказано.

[arqady]

Skeptic в сообщении #830165 писал(а):

После упрощения получаем:

$$\frac{a}{1-c}+\frac{b}{1-a}+\frac{c}{1-b}\geq\sqrt[3]{abc}$$

Как Вы получили $\sqrt[3]{abc}$ в правой части?

[Cash]

Skeptic в сообщении #830165 писал(а):

Разделим каждое число на их сумму. Тогда неравенство предстанет в таком виде:

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{1}{1-\sqrt[3]{abc}}$$

Тут где-то ошибка. Это неравенство попросту неверно. $a=b=c=\frac 12$

Skeptic в сообщении #830165 писал(а):

После упрощения получаем:

$$\frac{a}{1-c}+\frac{b}{1-a}+\frac{c}{1-b}\geq\sqrt[3]{abc}$$

Учитывая неравенство AM-GM мы справа спокойно еще на тройку умножить можем. Так не бывает. Где-то Вы наврали.

[TR63]

Заменяем правую часть на $\frac3 2$. Считаем, что $a<c<b$. Берём частную производную по пременной (c). Она при $a<c$ отрицательна (надо перепроверить). Значит функция убывает монотонно. Но на обоих концах неравенство верно (это легко доказать). Плюс верно в средней точке. Так верно?

[sergei1961]

В предложенном методе теперь $a,b,c$ уже стали другими числами. Они не просто меньше единицы, теперь ещё их сумма равна единице, чего ранее не было в первоначальной формулировке. Поэтому контрпример вроде не проходит.

[TR63]

sergei1961,
не поняла, к кому Вы обращаетесь. Если ко мне, то я предложила новый подход.

[sergei1961]

Наверное, к переформулировке неравенства с делением всего на сумму. Тогда вместо чисел $a,b,c$ появляются на их месте новые числа $\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b+c}$, сумма которых уже единица. Поэтому контрпример {1/2,1/2,1/2} наверное уже не контрпример.

На самом деле левая часть >= только единицы в отличии от Несбита-Шапиро, в котором 3/2. И просто вставкой числа посредине похоже не получится.

[Cash]

sergei1961, об этом я догадывался, но не мешало бы проговорить отдельно или буковки другие написать.
Ну и остался вопрос как $\frac{1}{1-\sqrt[3]{abc}}$ превратилось в $\sqrt[3]{abc}$

[sergei1961]

То что буквы остались и что превратилось-не я ответчик.

[TR63]

sergei1961 в сообщении #830214 писал(а):

Они не просто меньше единицы, теперь ещё их сумма равна единице,

Cash, sergei1961,
$a+b+c=1$. Если сумма не равна единице, то обе части умножаем на (k) и переходим к новым переменным $(ak,ck,bk)$.

[sergei1961]

На самом деле левая часть >= только единицы в отличии от Несбита-Шапиро, в котором 3/2. И просто вставкой числа посредине похоже не получится.

[TR63]

sergei1961 в сообщении #830214 писал(а):

Они не просто меньше единицы, теперь ещё их сумма равна единице,

Cash, sergei1961,
$a+b+c=1$. Если сумма не равна единице, то переходим к новым переменным $(ak,ck,bk)$, умножая числитель и знаменатель на $(k)$.

-- 24.02.2014, 20:38 --

Моё предыдущее(но не последнее)
сообщение надо удалить (не знаю, как).

sergei1961 в сообщении #830253 писал(а):

На самом деле левая часть >= только единицы в отличии от Несбита-Шапиро, в котором 3/2. И просто вставкой числа посредине похоже не получится.

Не могу понять такое объяснение.

-- 24.02.2014, 20:41 --

Моё замечание о вставке вообще можно считать излишним.

[sergei1961]

Тройка $(1,t^2,t)$ и $t$ к нулю.

Удалять сообщение можно кажется только в течение часа.

[TR63]

У меня так: $(a,c,b)=(t^2,t,1)$. В пределе получаем: $2>\frac3 2$. Что не так?

[TR63]

Skeptic, я этот путь пробовала, но выхода не вижу пока. А с производной, вроде, получается, но охватывается общий случай? Производную надо брать по промежуточной переменной. Если $(a<c<b)$, то по (c). И, что интересно мне, тогда усиленное неравенство, т.е. с правой частью $(\frac3 2)$, верно? А, при выходе переменной (c) за пределы интервала, т.е., когда $(c<a<b)$, уже может быть не верным. (Контрпример все видели.) Думаю.

-- 25.02.2014, 12:24 --

Сообщение Skeptic уже пропало. Ладно.