Помогите найти норму оператора и его сопряжение

[an-10]

Задано отображение
T : l^2 \to L^2 $$ =\begin{cases} x_1+x_2,&\text{если $t : [0,2]$;}\\ x_3-x_4,&\text{если $t : [2,3]$;}\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases} $$



Требуется найти $ ||T|| ,T^* $




Так как у нас пространство $l^2$, норма в нем определяется как:
$ ||x|| = \sqrt{|x|^2} $

Соответственно, ищем $Tx$:
$||Tx|| = \sqrt{{ \int\limits_{0}^{2} {x_1+x_2} dt + \int\limits_{2}^{3}{x_3-x_4}dt}} $

Получается:
$||Tx|| = \sqrt{{ 2|{x_1+x_2}|^2 + |{x_3-x_4}|^2 }} $

Вопрос, что делать дальше?

С сопряженным оператором, как я понял, ищется он исходя из определения:
$(Tx,x)=(T^*y,x) $

Первое скалярное произведение мы берем как обычное, второе - $\langle f,g\rangle=\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\mu (dx)$, приравниваем и выражаем $T^* $, верно?
Всем заранее спасибо за ответы.

[svv]

an-10 в сообщении #830228 писал(а):

Так как у нас пространство $l^2$, норма в нем определяется как:
$ ||x|| = \sqrt{|x|^2} $

Что это значит в Вашем случае?

an-10 в сообщении #830228 писал(а):

Соответственно, ищем $Tx$:
$||Tx|| = \sqrt{{ \int\limits_{0}^{2} {x_1+x_2} dt + \int\limits_{2}^{3}{x_3-x_4}dt}} $

Под интегралами нужны скобки. Где пропущенные степени?

an-10 в сообщении #830228 писал(а):

Получается:
$||Tx|| = \sqrt{{ 2|{x_1+x_2}|^2 + |{x_3-x_4}|^2 }} $

Модули не нужны: $|a|^2=a^2$, последнее проще.

an-10 в сообщении #830228 писал(а):

Вопрос, что делать дальше?

Определение нормы оператора.

Совет: обозначьте $u=(x_1+x_2)^2, v=(x_3-x_4)^2$, помня, что $u$ и $v$ могут независимо принимать произвольные неотрицательные значения.

an-10 в сообщении #830228 писал(а):

$(Tx,x)=(T^*y,x) $

Внимательнее, пожалуйста.

[an-10]

svv в сообщении #830275 писал(а):

Определение нормы оператора.

Я знаю как миниум 2:
$SUP{{||Tx||}/||x||}$ и просто $SUP||Tx||$, в первом случае x ненулевой, во втором $||x|| \leqslant 1 $

svv в сообщении #830275 писал(а):

Внимательнее, пожалуйста.

$(Tx,y)=(T^*y,x) $

Норму переобозначил:
$||Tx|| = \sqrt{{ 2u^2 + v^2 }} $

svv в сообщении #830275 писал(а):

Что это значит в Вашем случае?

Не уверен, то что это то, что Вы хотите слышать, но возможно то, что оператор $T$ изначально действует на бесконечную последовательность?

[svv]

Простите, я Вам дал два глупых совета, насчет обозначений $u$ и $v$ и насчет модуля. Конечно, никто не говорил, что пространства над $\mathbb R$. Но для простоты пусть пока будут вещественные.

$\|T\| =\sup\limits_{x\ne 0}\dfrac{\|Tx\|}{\|x\|}=\sup\limits_{x\ne 0}\dfrac{\sqrt{2|{x_1+x_2}|^2 + |{x_3-x_4}|^2}}{\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^2}}$
Значения $x_n, n\geqslant 5$ влияют только на знаменатель. Если среди них есть ненулевые, и мы заменим их на нулевые, то знаменатель уменьшится, а дробь увеличится. Поэтому можно искать супремум на множестве векторов в $l_2$, у которых эти координаты нулевые.

Теперь удобнее другая форма:
$\|T\| = \sup\limits_{\|x\|=1} \|Tx\| = \sup\limits_{|x_1|^2+|x_2|^2+|x_3|^2+|x_4|^2=1} \sqrt{2|{x_1+x_2}|^2 + |{x_3-x_4}|^2}}$

Сможете найти супремум функции $2(x_1+x_2)^2+(x_3-x_4)^2$ при условии $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$?
Можно заменить «супремум» на максимум, это значение на сфере достигается.
Не забыть потом извлечь корень.

[an-10]

Спасибо!

Норму посчитал, получилась 2 равна. Достигается на $(1,1,0,0.....).$
Сопряженный оператор тоже посчитал.