2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите найти норму оператора и его сопряжение
Сообщение24.02.2014, 18:00 
Задано отображение
T : l^2 \to L^2 
$$
=\begin{cases}
x_1+x_2,&\text{если $t : [0,2]$;}\\
x_3-x_4,&\text{если $t : [2,3]$;}\\
0,&\text{иначе.}
\end{cases}
$$



Требуется найти $ ||T|| ,T^* $




Так как у нас пространство $l^2$, норма в нем определяется как:
$  ||x|| = \sqrt{|x|^2} $

Соответственно, ищем $Tx$:
$||Tx|| = \sqrt{{ \int\limits_{0}^{2} {x_1+x_2} dt +  \int\limits_{2}^{3}{x_3-x_4}dt}}  $

Получается:
$||Tx|| = \sqrt{{  2|{x_1+x_2}|^2 + |{x_3-x_4}|^2 }}  $

Вопрос, что делать дальше?

С сопряженным оператором, как я понял, ищется он исходя из определения:
$(Tx,x)=(T^*y,x) $

Первое скалярное произведение мы берем как обычное, второе - $\langle f,g\rangle=\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\mu (dx)$, приравниваем и выражаем $T^* $, верно?
Всем заранее спасибо за ответы.

 
 
 
 Re: Помогите найти норму оператора и его сопряжение
Сообщение24.02.2014, 20:33 
Аватара пользователя
an-10 в сообщении #830228 писал(а):
Так как у нас пространство $l^2$, норма в нем определяется как:
$  ||x|| = \sqrt{|x|^2} $
Что это значит в Вашем случае?

an-10 в сообщении #830228 писал(а):
Соответственно, ищем $Tx$:
$||Tx|| = \sqrt{{ \int\limits_{0}^{2} {x_1+x_2} dt +  \int\limits_{2}^{3}{x_3-x_4}dt}}  $
Под интегралами нужны скобки. Где пропущенные степени?

an-10 в сообщении #830228 писал(а):
Получается:
$||Tx|| = \sqrt{{  2|{x_1+x_2}|^2 + |{x_3-x_4}|^2 }}  $
Модули не нужны: $|a|^2=a^2$, последнее проще.

an-10 в сообщении #830228 писал(а):
Вопрос, что делать дальше?
Определение нормы оператора.

Совет: обозначьте $u=(x_1+x_2)^2, v=(x_3-x_4)^2$, помня, что $u$ и $v$ могут независимо принимать произвольные неотрицательные значения.

an-10 в сообщении #830228 писал(а):
$(Tx,x)=(T^*y,x) $
Внимательнее, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Помогите найти норму оператора и его сопряжение
Сообщение25.02.2014, 08:39 
svv в сообщении #830275 писал(а):
Определение нормы оператора.


Я знаю как миниум 2:
$SUP{{||Tx||}/||x||}$ и просто $SUP||Tx||$, в первом случае x ненулевой, во втором $||x|| \leqslant 1 $


svv в сообщении #830275 писал(а):
Внимательнее, пожалуйста.

$(Tx,y)=(T^*y,x) $

Норму переобозначил:
$||Tx|| = \sqrt{{  2u^2 + v^2 }}  $

svv в сообщении #830275 писал(а):
Что это значит в Вашем случае?

Не уверен, то что это то, что Вы хотите слышать, но возможно то, что оператор $T$ изначально действует на бесконечную последовательность?

 
 
 
 Re: Помогите найти норму оператора и его сопряжение
Сообщение25.02.2014, 18:51 
Аватара пользователя
Простите, я Вам дал два глупых совета, насчет обозначений $u$ и $v$ и насчет модуля. Конечно, никто не говорил, что пространства над $\mathbb R$. Но для простоты пусть пока будут вещественные.

$\|T\| =\sup\limits_{x\ne 0}\dfrac{\|Tx\|}{\|x\|}=\sup\limits_{x\ne 0}\dfrac{\sqrt{2|{x_1+x_2}|^2 + |{x_3-x_4}|^2}}{\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^2}}$
Значения $x_n, n\geqslant 5$ влияют только на знаменатель. Если среди них есть ненулевые, и мы заменим их на нулевые, то знаменатель уменьшится, а дробь увеличится. Поэтому можно искать супремум на множестве векторов в $l_2$, у которых эти координаты нулевые.

Теперь удобнее другая форма:
$\|T\| = \sup\limits_{\|x\|=1} \|Tx\| = \sup\limits_{|x_1|^2+|x_2|^2+|x_3|^2+|x_4|^2=1} \sqrt{2|{x_1+x_2}|^2 + |{x_3-x_4}|^2}}$

Сможете найти супремум функции $2(x_1+x_2)^2+(x_3-x_4)^2$ при условии $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$?
Можно заменить «супремум» на максимум, это значение на сфере достигается.
Не забыть потом извлечь корень.

 
 
 
 Re: Помогите найти норму оператора и его сопряжение
Сообщение27.02.2014, 21:57 
Спасибо!

Норму посчитал, получилась 2 равна. Достигается на $(1,1,0,0.....).$
Сопряженный оператор тоже посчитал.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group