Доказать делимость

[clondike]

Наименьшее общее кратное натуральных чисел a,b,c,d равно a+b+c+d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5(или на то и другое).

[Руст]

Пусть $a\le b\le c \le d$, тогда $a+b+c+d=Lcm(a,b,c,d)=kd$, причём k=2 или k=3.
Пусть $x=\frac{kd}{a},y=\frac{kd}{b},z=\frac{kd}c}$, тогда они целы, и $\frac 1x+\frac 1y +\frac 1z =1-\frac 1k,x\ge y\ge z\ge k.$ Если k=3, то или $x=12,y=4,z=3,abcd=48a^4,$ или $x=6,y=z=4,abcd=72m^4,a=2m.$
Если k=2, то или $z=3,y=8,x=24,abcd=288a^4$ или
$z=3,y=9,x=18,abcd=108a^4,$ или
$z=3,y=10,x=15,abcd=750m^4,a=2m,$ или
$z=3,y=x=12,abcd=24a^4$, или
$z=4,y=5,x=20,abcd=200a^4$, или
$z=5,y=5,x=10,abcd=20a^4$.
Как видно ваше утверждение верно.

[KiberMath]

Руст
А почему к может быть только двойкой или тройкой???

[Руст]

$d<a+b+c+d\le 4d$, так как $d|Lcm(a,b,c,d)=a+b+c+d$, то это число не больше 4. Оно не равно 4, так как в этом случае $a=b=c=d\to Lcm(a,b,c,d)=d<a+b+c+d$.

[clondike]

Огромное спасибо за помощь. А то я не знал даже как подступиться. Один вопрос: Как появляются варианты x,y,z? подбором? А то не могу догнать.

[Руст]

clondike писал(а):

Огромное спасибо за помощь. А то я не знал даже как подступиться. Один вопрос: Как появляются варианты x,y,z? подбором? А то не могу догнать.

Да, ещё из решений исключаются такие, что $gcd(x,y,z,k)>1$, так как у нас k простое (2 или 3), то это значит, что не все x,y,z делятся на k.