Разложение Тейлора векторного поля на многообрази

[amalykh]

Здравствуйте, уважаемые форумчане. Мне понадобился аналог разложения Тейлора для векторного поля на римановом многообразии $\mathcal{M}$ со связностью Леви-Чивиты $\nabla$. У меня получилась формула, описанная ниже, но я не видел ее ни в одном прочитанном мной источнике по римановой геометрии(правда, их было не так много:)) Из-за этого у меня появилось сомнение в моем выводе формулы, соответственно, прошу проверить мои выкладки и указать на ошибки в случае их наличия, а также указать на литературу, где о подобном можно почитать.

Рассмотрим векторное поле $F: \mathcal{M} \to T\mathcal{M}$. Также зафиксируем точку $p \ \in \mathcal{M}$ и рассмотрим $\mathcal{B}_r(0) \subset T_p\mathcal{M}, r > 0$ -- множество, которое отображается с помощью $\operatorname{\exp}_p$ на $\operatorname{\exp}_p(\mathcal{B}_r(0))$ диффеоморфно. И рассмотрим отображение $\tilde{F} : T_p\mathcal{M} \to T_p\mathcal{M}$, определенное следующим равенством:

$$ \tilde{F}(v) = \operatorname{d}\operatorname{\exp}^{-1}_p \Big \vert_{\operatorname{\exp}_p(v)}(F(\operatorname{\exp}_p(v))) $$

для любых $v \in \mathcal{B}_r(0)$. Согласно теореме Тейлора, мы имеем разложение

$$ \tilde{F}(v) = \tilde{F}(0) + \operatorname{d}^{1}{\tilde{F}}\Big \vert_{0} v + \frac{1}{2}\operatorname{d}^{2}{\tilde{F}}\Big \vert_{0} (v,v) + o(\Vert v \Vert_{p}^2) $$

Покажем теперь, что $\operatorname{d}^{i}{\tilde{F}}\Big \vert_{0} = \nabla_{p}^{i}F$.
Действительно, по правилу цепочки,

$$ \operatorname{d}{\tilde{F}}\Big \vert_{0} = \operatorname{d}{\big(\operatorname{d}\operatorname{\exp}^{-1}_p \Big \vert_{\operatorname{\exp}_p(0)} \big)}\Big \vert_{\tilde{F}(\operatorname{\exp}_p(0))} \circ \operatorname{d}{F}\Big \vert_{\operatorname{\exp}_p{0}} \circ \operatorname{d}\operatorname{\exp}_p \Big \vert_{0}. $$

Учитывая, что $\operatorname{d}\operatorname{\exp}_p \Big \vert_{0} = \operatorname{id}$, а также что, согласно теореме об обратной функции, $\operatorname{d}\operatorname{\exp}^{-1}_p \Big \vert_{\operatorname{\exp}_p(0)} = (\operatorname{d}\operatorname{\exp}_p \Big \vert_{0})^{-1} = \operatorname{id}^{-1} = \operatorname{id}$, имеем

$$ \operatorname{d}{\tilde{F}}\Big \vert_{0} = \operatorname{d}{F}\Big \vert_{p}. $$

В свою очередь $\operatorname{d}{F}\Big \vert_{p}=\nabla_{p}F$.
Отсюда следует и соотношение для дифференциалов любого порядка. Итак, учитывая, вышедоказанное и что $\tilde{F}(0)=F(p)$, имеем

$$ \operatorname{d}\operatorname{\exp}^{-1}_p \Big \vert_{\operatorname{\exp}_p(v)}(F(\operatorname{\exp}_p(v))) = F(p) + \nabla_{p}{F}v + \frac{1}{2}\nabla_{p}^{2}{F}(v, v) + o(\Vert v \Vert_{p}^2), $$

или, равнозначно,

$$ F(\operatorname{\exp}_p(v)) = \operatorname{d}\operatorname{\exp}_p \Big \vert_{v} \Big( F(p) + \nabla_{p}{F}v + \frac{1}{2}\nabla_{p}^{2}{F}(v, v) + o(\Vert v \Vert_{p}^2) \Big) $$

Аналогичный мой пост на math.stackechange: http://math.stackexchange.com/questions/684045/taylor-expansion-of-a-vector-field-on-manifold

[Oleg Zubelevich]

amalykh в сообщении #830042 писал(а):

или, равнозначно,

$$ F(\operatorname{\exp}_p(v)) = \operatorname{d}\operatorname{\exp}_p \Big \vert_{v} \Big( F(p) + \nabla_{p}{F}v + \frac{1}{2}\nabla_{p}^{2}{F}(v, v) + o(\Vert v \Vert_{p}^2) \Big) $$

ну наверное это можно тупо в координатах расписать и проверить, хотя похоже на правду

[alcoholist]

amalykh в сообщении #830042 писал(а):

Согласно теореме Тейлора, мы имеем разложение

$$ \tilde{F}(v) = \tilde{F}(0) + \operatorname{d}^{1}{\tilde{F}}\Big \vert_{0} v + \frac{1}{2}\operatorname{d}^{2}{\tilde{F}}\Big \vert_{0} (v,v) + o(\Vert v \Vert_{p}^2) $$

разве второй дифференциал определен инвариантно в любой точке? или неопределенность "скрыта" в о-малом?