дифференциальная геометрия, аналитическая кривая

[Felt]

Не могу понять доказательство теоремы об аналитических кривых(Погорелов):
Аналитическую кривую в окрестности некоторой точки можно параметризовать как
$x=a_1 t^{n_1}$
$y=b_1 t^{m_1}+b_2 t_{m_2}+...$
где $n_1 \leq m_1$.
Доказательство: кривую можно параметризовать как
$x=\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+...$
$y=\beta_1 s^{m_1}+\beta_2 s^{n_2}+\beta_2 s^{n_2}+...$
И положим, что $n_1 \leq m_1$, в противном случае поменять ролями х и у. Затем вводят переменную $t=s (\frac{\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+...}{a_1 s^{n_1}})^{\frac{1}{n_1}}$
выражение для х отсюда естественно следуюет, но как получают выражение для у для меня не ясно... Подставляю вместо t данное выражение и получаем
$y=b_1 s^{m_1}(\frac{\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+...}{a_1 s^{n_1}})^{\frac{m_1}{n_1}}+...$ В скобках первый член в числителе можно поделить на знаменатель, получить только численный коэффициент, раскрыть скобки и получить бесконечный ряд по мультиномиальной теореме(потому что в общем случае $m_1$ не делится $n_1$), в котором первый член - число, соответственно получили первый(?) член изначальной параметризации со степенью $m_1$. И таким же образом подставляя можно выделить остальные члены со степенями m со всеми нужными коэффицинетами, подставляя в каждый член данное выражение. Однако остается длинный ряд в каждом случае с которым неизвестно что потом делается, то есть там могут быть любые степени... Каким тогда образом получают то, что хотят получить, я не пойму.

[svv]

Felt в сообщении #829436 писал(а):

$(\frac{\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+...}{a_1 s^{n_1}})^{\frac{1}{n_1}}$

Скорее всего, Вы имели в виду $(\frac{\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_2 s^{n_2}+\alpha_3 s^{n_3}+...}{a_1 s^{n_1}})^{\frac{1}{n_1}}$

Felt в сообщении #829436 писал(а):

получить бесконечный ряд по мультиномиальной теореме

Или биномиальной, если рассматривать весь ряд $\frac{\alpha_2}{\alpha_1}s^{n_2-n_1}+\frac{\alpha_3}{\alpha_1}s^{n_3-n_1}+\dots$ как второе слагаемое. В этом случае мы тоже не получаем дробных степеней $s$. Предполагается, что за скобки вынесена дробь $\frac{\alpha_1}{a_1}$, а не просто $\alpha_1$, чтобы первое слагаемое было $1$.

Мне кажется, надо просто сказать: «Далее всё это раскладываем в ряд Тейлора в окрестности $s=0$. Мы исходим из того, что это возможно, хотя и не можем выразить коэффициенты разложения через альфы явно». Думаю, что Погорелов и не предполагал, что кто-то захочет это проделать в явном виде, важно само существование такой параметризации.

[Felt]

svv в сообщении #829650 писал(а):

Скорее всего, Вы имели в виду

Да, конечно.

svv в сообщении #829650 писал(а):

В этом случае мы тоже не получаем дробных степеней $s$.

svv в сообщении #829650 писал(а):

Думаю, что Погорелов и не предполагал, что кто-то захочет это проделать в явном виде, важно само существование такой параметризации.

Ну, я не то, чтобы хотел бы провести это в явном виде, я только хотел быть уверенным, что проделав эту замену, мы получим те же самые коэфициенты $m_1, m_2...$
Да, дробных степеней там не будет, но что гарантирует, что степени у s будут те самые m? Там как минимум будут степени-множители индексов $n_i$


То есть лучше сказать так: допустим параметризация у этой прямой такая, что никакие $m_i$ не делятся $n_i$. Если поступать способом, описанным выше, должны были бы появится бесконечные ряды со степенями, которые делятся $n_i$. Тогда они должны были бы либо взаимоуничтожиться(что это гарантирует, если это так?), либо остаться и тогда полученное выражение уже не будет удовлетворять теореме

[svv]

Felt в сообщении #829672 писал(а):

но что гарантирует, что степени у s будут те самые m?

Я думаю, что в книге не имелось в виду, что степени будут те же самые. Они будут некоторыми целыми, причем $n_1\leqslant m_1$, and nothing else matters. Имелась в виду только общая форма новой параметризации, т.е. $m_i$ в старой и в новой параметризации, вообще говоря, разные.

Согласен, это форменное безобразие (что, трудно было обозначить новые степени другой буквой?).

Вот простой пример: пусть $x=s^2+s^3,\;\; y=s^3$. Точка $s=0$ особая, взгляните:
Wolfram|Alpha, parametric plot (s^2+s^3, s^3)

Новый параметр
$t=s\left(\dfrac{s^2+s^3}{s^2}\right)^{\frac 1 2}=s\sqrt{1+s}$
Тогда $x=t^2$, как мы и ожидаем. Но вот $y$ уже никак не может быть равен $b_1 t^3$, потому что $x=t^2,\;\;y=t^3$ — это уже совсем другая кривая:
Wolfram|Alpha, parametric plot (t^2, t^3)
То есть новые степени появятся неизбежно.

В общем, слов нет. Немного оправдывает автора то, что в условии теоремы не обещалось, что степени будут точно такими, как где-то ещё — приведён только общий вид с некоторыми степенями, обозначенными $m_i$. Автору важно было показать, что всё, что может происходить с аналитической кривой в окрестности точки, исчерпывается уже такими параметризациями.