2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 дифференциальная геометрия, аналитическая кривая
Сообщение22.02.2014, 14:10 


20/12/13
139
Не могу понять доказательство теоремы об аналитических кривых(Погорелов):
Аналитическую кривую в окрестности некоторой точки можно параметризовать как
$x=a_1 t^{n_1}$
$y=b_1 t^{m_1}+b_2 t_{m_2}+...$
где $n_1 \leq m_1$.
Доказательство: кривую можно параметризовать как
$x=\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+...$
$y=\beta_1 s^{m_1}+\beta_2 s^{n_2}+\beta_2 s^{n_2}+...$
И положим, что $n_1 \leq m_1$, в противном случае поменять ролями х и у. Затем вводят переменную $t=s (\frac{\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+...}{a_1 s^{n_1}})^{\frac{1}{n_1}}$
выражение для х отсюда естественно следуюет, но как получают выражение для у для меня не ясно... Подставляю вместо t данное выражение и получаем
$y=b_1 s^{m_1}(\frac{\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+...}{a_1 s^{n_1}})^{\frac{m_1}{n_1}}+...$ В скобках первый член в числителе можно поделить на знаменатель, получить только численный коэффициент, раскрыть скобки и получить бесконечный ряд по мультиномиальной теореме(потому что в общем случае $m_1$ не делится $n_1$), в котором первый член - число, соответственно получили первый(?) член изначальной параметризации со степенью $m_1$. И таким же образом подставляя можно выделить остальные члены со степенями m со всеми нужными коэффицинетами, подставляя в каждый член данное выражение. Однако остается длинный ряд в каждом случае с которым неизвестно что потом делается, то есть там могут быть любые степени... Каким тогда образом получают то, что хотят получить, я не пойму.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальная геометрия, аналитическая кривая
Сообщение23.02.2014, 00:17 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Felt в сообщении #829436 писал(а):
$(\frac{\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_1 s^{n_1}+...}{a_1 s^{n_1}})^{\frac{1}{n_1}}$
Скорее всего, Вы имели в виду $(\frac{\alpha_1 s^{n_1}+\alpha_2 s^{n_2}+\alpha_3 s^{n_3}+...}{a_1 s^{n_1}})^{\frac{1}{n_1}}$

Felt в сообщении #829436 писал(а):
получить бесконечный ряд по мультиномиальной теореме
Или биномиальной, если рассматривать весь ряд $\frac{\alpha_2}{\alpha_1}s^{n_2-n_1}+\frac{\alpha_3}{\alpha_1}s^{n_3-n_1}+\dots$ как второе слагаемое. В этом случае мы тоже не получаем дробных степеней $s$. Предполагается, что за скобки вынесена дробь $\frac{\alpha_1}{a_1}$, а не просто $\alpha_1$, чтобы первое слагаемое было $1$.

Мне кажется, надо просто сказать: «Далее всё это раскладываем в ряд Тейлора в окрестности $s=0$. Мы исходим из того, что это возможно, хотя и не можем выразить коэффициенты разложения через альфы явно». Думаю, что Погорелов и не предполагал, что кто-то захочет это проделать в явном виде, важно само существование такой параметризации.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальная геометрия, аналитическая кривая
Сообщение23.02.2014, 01:24 


20/12/13
139
svv в сообщении #829650 писал(а):
Скорее всего, Вы имели в виду

Да, конечно.

svv в сообщении #829650 писал(а):
В этом случае мы тоже не получаем дробных степеней $s$.


svv в сообщении #829650 писал(а):
Думаю, что Погорелов и не предполагал, что кто-то захочет это проделать в явном виде, важно само существование такой параметризации.

Ну, я не то, чтобы хотел бы провести это в явном виде, я только хотел быть уверенным, что проделав эту замену, мы получим те же самые коэфициенты $m_1, m_2...$
Да, дробных степеней там не будет, но что гарантирует, что степени у s будут те самые m? Там как минимум будут степени-множители индексов $n_i$


То есть лучше сказать так: допустим параметризация у этой прямой такая, что никакие $m_i$ не делятся $n_i$. Если поступать способом, описанным выше, должны были бы появится бесконечные ряды со степенями, которые делятся $n_i$. Тогда они должны были бы либо взаимоуничтожиться(что это гарантирует, если это так?), либо остаться и тогда полученное выражение уже не будет удовлетворять теореме

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальная геометрия, аналитическая кривая
Сообщение23.02.2014, 03:23 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Felt в сообщении #829672 писал(а):
но что гарантирует, что степени у s будут те самые m?
Я думаю, что в книге не имелось в виду, что степени будут те же самые. Они будут некоторыми целыми, причем $n_1\leqslant m_1$, and nothing else matters. Имелась в виду только общая форма новой параметризации, т.е. $m_i$ в старой и в новой параметризации, вообще говоря, разные.

Согласен, это форменное безобразие (что, трудно было обозначить новые степени другой буквой?).

Вот простой пример: пусть $x=s^2+s^3,\;\; y=s^3$. Точка $s=0$ особая, взгляните:
Wolfram|Alpha, parametric plot (s^2+s^3, s^3)

Новый параметр
$t=s\left(\dfrac{s^2+s^3}{s^2}\right)^{\frac 1 2}=s\sqrt{1+s}$
Тогда $x=t^2$, как мы и ожидаем. Но вот $y$ уже никак не может быть равен $b_1 t^3$, потому что $x=t^2,\;\;y=t^3$ — это уже совсем другая кривая:
Wolfram|Alpha, parametric plot (t^2, t^3)
То есть новые степени появятся неизбежно.

В общем, слов нет. :-) Немного оправдывает автора то, что в условии теоремы не обещалось, что степени будут точно такими, как где-то ещё — приведён только общий вид с некоторыми степенями, обозначенными $m_i$. Автору важно было показать, что всё, что может происходить с аналитической кривой в окрестности точки, исчерпывается уже такими параметризациями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group