Интеграл

[confabulez]

Добрый день.
Правильно ли я понимаю, что интеграл $\int{\sqrt{3\sin(x)+\cos(x)}dx}$ не берется в элементарных функциях?

[Ms-dos4]

Да, в элементарных не берётся

[confabulez]

Спасибо, а такой $\int\limits_0^2{\sqrt{3\sin(x)+\cos(x)}dx}$ считается через эллиптические функции? Просто такой встретился в методичке среди абсолютно простых остальных заданий. Думаю, что ошибка в методичке.

[Ms-dos4]

Интегралы такого типа упрощаются так $\[\int {\frac{{dx}}{{{{(a\cos x + b\sin x)}^n}}}dx} = \frac{1}{{\sqrt {{{({a^2} + {b^2})}^n}} }}\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^n}(x + {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{a}{b})}}} \]$. Если $\[n = - \frac{1}{2}\]$ он действительно выразится через эллиптический интеграл, но в общем случае это не так.
В случае ваших констант $\[a = 1\]$ $\[b = 3\]$ и $\[n = - \frac{1}{2}\]$ неопред. интеграл равен $\[ - 2\sqrt[4]{{10}} \cdot E(\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2} - x - {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{3})|2)\]$
P.S.Что бы избежать недопониманий, обратите внимание на разделитель в эллиптическом интеграле $\[E(\varphi |m)\]$ (в разных местах используются так же , и \, которые вообще говоря, обозначают разные вещи, сводимые друг к другу).

[confabulez]

Спасибо еще раз. Я так и упрощал, решил на всякий случай уточнить:)