Интегралы такого типа упрощаются так
![$\[\int {\frac{{dx}}{{{{(a\cos x + b\sin x)}^n}}}dx} = \frac{1}{{\sqrt {{{({a^2} + {b^2})}^n}} }}\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^n}(x + {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{a}{b})}}} \]$ $\[\int {\frac{{dx}}{{{{(a\cos x + b\sin x)}^n}}}dx} = \frac{1}{{\sqrt {{{({a^2} + {b^2})}^n}} }}\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^n}(x + {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{a}{b})}}} \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/b/62bb7d14b67b8600042b2de26e61c2bb82.png)
. Если
![$\[n = - \frac{1}{2}\]$ $\[n = - \frac{1}{2}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/f/4cf5fa061be23a7ad26ec0dc758af14c82.png)
он действительно выразится через эллиптический интеграл, но в общем случае это не так.
В случае ваших констант
![$\[b = 3\]$ $\[b = 3\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/4/9648469f07bb43835f8792a47510c69382.png)
и
![$\[n = - \frac{1}{2}\]$ $\[n = - \frac{1}{2}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/f/4cf5fa061be23a7ad26ec0dc758af14c82.png)
неопред. интеграл равен
![$\[ - 2\sqrt[4]{{10}} \cdot E(\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2} - x - {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{3})|2)\]$ $\[ - 2\sqrt[4]{{10}} \cdot E(\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2} - x - {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{3})|2)\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/6/dc6dbf47283068bb624473f1e1f95e8a82.png)
P.S.Что бы избежать недопониманий, обратите внимание на разделитель в эллиптическом интеграле
![$\[E(\varphi |m)\]$ $\[E(\varphi |m)\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/7/d6737aaa89c433bf237898dd0bbc619e82.png)
(в разных местах используются так же , и \, которые вообще говоря, обозначают разные вещи, сводимые друг к другу).