Красивое неравенство

[arqady]

Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{a+b+c}{a+b+c-\sqrt[3]{abc}}$$

У этого неравенства имеется красивое короткое доказательство.

[TR63]

Для определённости будем считать, что $a\le c$.Неравенство достаточно доказать в двух точках: $a=0$, $a=c$. Это несложно для таких частных случаев доказать. Далее берём произвольно фиксированное $0<a<c$ и рассматриваем в этой точке частную производную, не вычисляя её специально. Если не положительна, то функция не возрастает. Значит меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. И, следовательно, знак неравенства сохраняется. Аналогично, если производная положительна, учитываем, что функция положительна в нуле. В итоге знак неравенства сохраняется.

[arqady]

TR63 в сообщении #828497 писал(а):

Если не положительна, то функция не возрастает. Значит меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. И, следовательно, знак неравенства сохраняется.

После осуществления какого действия?

[TR63]

arqady,
поняла. А если переменную (a) не фиксировать. Тогда по ней можно взять частную производную . Теперь рассматриваем мысленно только те $a_i$, в которых эта производная не положительна. Сравниваем значения функции в точках $a=a_i$ и $a=c$ формально (практически сравнивать не надо). Поскольку в точке $a=c$ функция была положительна (это легко доказывается), то при уменьшении аргумента ($a_i$) не убывает, т.е. остаётся больше нуля. Что и требуется. Функция у меня это выражение, равное разности между левой и правой частью исходного неравенства.

[arqady]

Теперь я понял, что Вы имеете в виду. Ошибка в том, что Вы предполагаете, что производная сохраняет свой знак справа от $a_i$ на всём промежутке и слева от $a_i$ на всём промежутке, что, конечно, неверно.

[TR63]

arqady,
нет. Я этого не предполагаю. (Точки возрастания и убывания могут перемежаться). Но проблема есть. Неизвестно, в какой промежуток попадёт точка $a_k=c$ после разделения промежутка на два промежутка: в промежуток возрастания или убывания. Если в промежуток убывания, то всё получается. А, если нет? Тогда промежуток убывания пуст? (Это не страшно; рассматриваем второй вариант). Необязательно. Т.к. функция зависит от трёх переменных, то точка может находиться в двух промежутках одновременно взависимости от третьей переменной.
arqady,
конечно, это не доказательство. Размышление над возможным подходом к решению, пока другие думают.

[fibonacci]

Сначала надо использовать неравенства NESBITT'S для левой части неравенства. Всё.

[arqady]

fibonacci в сообщении #829081 писал(а):

Сначала надо использовать неравенства NESBITT'S для левой части неравенства. Всё.

Не могли бы Вы расписать по-подробнее? Что-то я не вижу здесь Несбита.

[TR63]

(Оффтоп)

fibonacci, мне понравилась Ваша идея в качестве воды на мою мельницу. Я имею в виду предложения, следующие из непрерывно ложных. Конечно, это не то, что требуется для стандартного доказательства. Но контрпример для такой гипотезы мне неизвестен.

[fibonacci]

Sorry.Я точно не посмотрел на неравенству

[Skeptic]

(Оффтоп)

Ошибся

[Skeptic]

Усилим неравенство заменой в подкоренном произведении всех сомножителей на максимальное число из тройки чисел $a,b,c$. При этом условии неравенство легко доказывается.

[ИСН]

Ога, особенно для набора $(1,1,2)$.
Я давно убедился: если Вам померещилось что-то простое в любой задаче от arqady, пересмотрите свои доводы. В них что-то не так.

[Skeptic]

(Оффтоп)

ИСН, спасибо за помощь.

Не ошибается тот, кто не работает . Буду думать дальше.

[Skeptic]

Неравенство выполняется, если одно из чисел равно 0. Задача сводится к доказательству неравенства при изменении только одного числа.