Доброго времени суток, коллеги.
Столкнулась с задачей, пока не поддается мне. Буду признательна за любые комментарии.
В
![$L^2[0,1]$ $L^2[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/2/0d217820daebe4bf760cc245880f831682.png)
на подпространстве

многочленов степени не выше первой задан функционал

. Найти продолжение

на
![$L^2[0,1]$ $L^2[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/2/0d217820daebe4bf760cc245880f831682.png)
с сохранением нормы.
Решение: данный функционал

линейный и ограниченный (достаточно очевидно). Найдем его норму.
Возьмем произвольную

- произвольные числа.


По теореме Хана-Банаха любой линейный ограниченный функционал, заданный на подпространстве, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы, т.е. существует функционал
![$$g: L^2[0,1]\to R:\;\; g|_M=f,\; ||g||=||f||.$$ $$g: L^2[0,1]\to R:\;\; g|_M=f,\; ||g||=||f||.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/d/2bdd1dfc54425da008514a90e3a796e282.png)
По теореме Рисса-Фреше для любого линейного ограниченного функционала в
![$L^2[0,1]$ $L^2[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/2/0d217820daebe4bf760cc245880f831682.png)
существует единственная (!) функция
![$y\in L^2[0,1]$ $y\in L^2[0,1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/c/79cc1e2b9d6f74fb8041698946973a0b82.png)
, такая что
![$$g(x)=\int_0^1 x(t)y(t)dt \;\;\forall x\in L^2[0,1],\; ||g||=||y||.$$ $$g(x)=\int_0^1 x(t)y(t)dt \;\;\forall x\in L^2[0,1],\; ||g||=||y||.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/8/e481f04d1af39f2d8306547f34d5f6e682.png)
Ищем функционал

в таком виде.
Тогда


Ну, вот и вопрос, как подобрать такую

, чтобы она удовлетворяла трем условиям (I, II, III)?
С уважением.