Найти продолжение функционала на L2[0,1]

[mev12]

Доброго времени суток, коллеги.
Столкнулась с задачей, пока не поддается мне. Буду признательна за любые комментарии.
В $L^2[0,1]$ на подпространстве $M$ многочленов степени не выше первой задан функционал $f(x(t))=x(1)$. Найти продолжение $f$ на $L^2[0,1]$ с сохранением нормы.
Решение: данный функционал $f$ линейный и ограниченный (достаточно очевидно). Найдем его норму.
Возьмем произвольную $x(t)\in M, x(t)=at+b, a,b\in R$ - произвольные числа.

$$|f(x)|=|a+b|,\;\; ||x||^2=\int_0^1 x^2(t)dt=\int_0^1 (at+b)^2dt=a^2/3+ab+b^2.$$

$$||f||=\sup_{x\ne 0}\frac{|f(x)|}{||x||}=\max_{a,b}\frac{|a+b|}{\sqrt{a^2/3+ab+b^2}}=2.$$

По теореме Хана-Банаха любой линейный ограниченный функционал, заданный на подпространстве, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы, т.е. существует функционал

$$g: L^2[0,1]\to R:\;\; g|_M=f,\; ||g||=||f||.$$

По теореме Рисса-Фреше для любого линейного ограниченного функционала в $L^2[0,1]$ существует единственная (!) функция $y\in L^2[0,1]$, такая что

$$g(x)=\int_0^1 x(t)y(t)dt \;\;\forall x\in L^2[0,1],\; ||g||=||y||.$$

Ищем функционал $g$ в таком виде.
Тогда

$$g|_M=f \Rightarrow \int_0^1 (at+b)y(t)dt=a+b \Rightarrow \int_0^1 ty(t)dt=1 \;(I), \;\int_0^1 y(t)dt=1\;(II).$$

$$||g||=||f||,\;\; ||g||=||y|| \Rightarrow ||y||=\int_0^1 y^2(t)dt=2 \;(III).$$

Ну, вот и вопрос, как подобрать такую $y$, чтобы она удовлетворяла трем условиям (I, II, III)?
С уважением.

[mishafromusa]

Попробуйте взять функцию попроще, чтобы уравнения явно выписывались.

[mev12]

Нашла опечатку у себя. Должно быть так

$$||y||^2=\int_0^1 y^2(t)dt=4 (III)$$

[mishafromusa]

Всё ещё не решила? Наводящий вопрос: как теорема Рисса-Фишера выглядит в трёхмерном евклидовом пространстве с обычным скалярным произведением и нормой?

[Oleg Zubelevich]

один из способов продолжить: искомый линейный функционал обращается в ноль на ортогональном дополнении к $M$

[mishafromusa]

А вектор, который его представляет, он где?

[Oleg Zubelevich]

Все проще гораздо. Пусть $u\in L^2[0,1]$, разложим $u=ax+b+w$ где $w$ ортогонально $M$. Коэффициенты $a,b$ ищем из системы $\int_0^1(ax+b)dx=\int_0^1udx,\quad \int_0^1(ax^2+bx)dx=\int_0^1uxdx$
искомый функционал: $f(u)=a+b$

[mishafromusa]

Ну вот, Олег испортил всю интригу, не дал ученице подумать и испытать удовольствие математического открытия.

[mev12]

Увы, но ничего Олег не испортил :( Совсем ничего не поняла.
По теореме пространство $H=M\oplus M^\perp$, если $M$ - замкнутое подпространство. Разве в нашем случае $M$ замкнуто?
Допустим, $M$ замкнуто и для $u\in L^2[0,1]$ справедливо разложение $u(t)=at+b+w(t), w(t)\in M^\perp$. И что дальше? Как получить общий вид искомого функционала $g$? (в моих обозначениях) Откуда взялись два интегральных соотношения?
С уважением.

[mishafromusa]

mev12 в сообщении #829150 писал(а):

По теореме пространство $H=M\oplus M^\perp$, если $M$ - замкнутое подпространство. Разве в нашем случае $M$ замкнуто?

Вот в этом и надо розобраться.

-- 21.02.2014, 06:39 --

mishafromusa в сообщении #829072 писал(а):

Всё ещё не решила? Наводящий вопрос: как теорема Рисса-Фишера выглядит в трёхмерном евклидовом пространстве с обычным скалярным произведением и нормой?

Попробуйте решить упрощённую задачу, когда пространство трёхмерное, а подпространство, где изначально задан функционал -- двумерное.

-- 21.02.2014, 07:12 --

mev12 в сообщении #829150 писал(а):

И что дальше? Как получить общий вид искомого функционала $g$?

А теорема Рисса-Фишера зачем?

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #829075 писал(а):

А вектор, который его представляет, он где?

Я имею в виду где он по отношению к разложению нашего пространства в ортогональную сумму подпространства, где функционал изначально задан, и его ортогонального дополнения?