Вывести уравнение КдФ из уравнения Лакса

[Devin]

Здравствуйте. Есть проблемы с решением этой задачи.
Убедиться, что операторное уравнение Лакса при приведенном в тексте виде $\widehat {L},\widehat {A}$
пары сводятся к уравнению КдВ(Кортевега де Фриза)
Это задача 21,3 стр 171 из этого учебника
https://www.dropbox.com/s/pmla8gm85e3aq ... %D0%90.pdf
Насколько я понял почитав этот учебник вот само уравнение Лакса
${\partial\widehat {L}\over\partial t}+[\widehat {L}\widehat {A}]=0$
Где $\widehat {L}={d^2\over dx^2}-u(x,t)$
$\widehat {A}=-4{d^3\over dx^3}+6u{d\over dx}+3u_x$
И вот что мне конкретно не понятно.
1) Если А и L это операторы, на что они действуют? Если мы видем саму функцию u в операторах, то это тоже операторы?
2) В учебнике $[\widehat {L}\widehat {A}]$ это написано без запятой, и не понятно коммутируют ли эти операторы или нет. Если да то можем использовать $[\widehat {L}\widehat {A}]=LA-AL$ Но что делать с LA и AL?
3) Как дифференцировать этот оператор по времени? ${\partial\widehat {L}\over\partial t}$
В итоге мы должны получить вот это
$u_t-6uu_x+u_{xxx}=0$
Помогите пожалуйста найти решение.

-- 17.02.2014, 20:11 --

кстати уравнение КдФ в учебнике написано именно с -, а в wiki с+.
В учебнике опечатка?

[espe]

Devin в сообщении #827763 писал(а):

1) Если А и L это операторы, на что они действуют? Если мы видем саму функцию u в операторах, то это тоже операторы?

Предполагается, что справа стоит какая-то функция, на неё и действуют эти операторы. $u$ и её производные -- это тоже операторы.

Devin в сообщении #827763 писал(а):

2) В учебнике $[\widehat {L}\widehat {A}]$ это написано без запятой, и не понятно коммутируют ли эти операторы или нет. Если да то можем использовать $[\widehat {L}\widehat {A}]=LA-AL$ Но что делать с LA и AL?

Запятая пропущена, это коммутатор операторов. Операторы $L$ и $A$ не коммутируют (видно из их явного вида).

Devin в сообщении #827763 писал(а):

3) Как дифференцировать этот оператор по времени? ${\partial\widehat {L}\over\partial t}$

В лоб ${\partial\widehat {L}\over\partial t}=-u_t.$

Devin в сообщении #827763 писал(а):

В итоге мы должны получить вот это
$u_t-6uu_x+u_{xxx}=0$

Если всё правильно вычислите -- получите.

[Devin]

Спасибо, все что Вы объяснили. Я понял.
Если операторы не коммутируют, это должно означать$[\widehat {L}\widehat {A}]=LA-AL\ne 0$
Но я не понимаю как вычислить LA и AL.( на что действуют операторы? Если это просто u, то на вскидку красивый ответ не получиться)
Подскажите пожалуйста этот момент. Заранее спасибо!

[espe]

Devin в сообщении #827886 писал(а):

Но я не понимаю как вычислить LA и AL.( на что действуют операторы? Если это просто u, то на вскидку красивый ответ не получиться)

Вычисляется также как в квантовой механике. Предполагаете, что справа стоит функция, $\psi$ например, можно даже написать её явно $[L,A]\psi=LA\psi-AL\psi$, вычисляете («перетаскиваете» все производные на право и приводите подобные), получите $[L,A]\psi=(6uu_x-u_{xxx})\psi$, это означает что $[L,A]=6uu_x-u_{xxx}$.

[Devin]

Что-то у меня не получилось. Кажется я допустил ошибку в самом начале.
$[L,A]\psi=L(-4{d^3\psi\over dx^3}+6u{d\psi\over dx}+3u_x\psi)-A({d^2\psi\over dx^2}-u\psi)$
Подскажите пожалуйста где.
Если $u_x, u тоже операторы$ тоже операторы, тогда они тоже должный действовать на функцию $\psi$

[espe]

Devin в сообщении #828214 писал(а):

Что-то у меня не получилось. Кажется я допустил ошибку в самом начале.
$[L,A]\psi=L(-4{d^3\psi\over dx^3}+6u{d\psi\over dx}+3u_x\psi)-A({d^2\psi\over dx^2}-u\psi)$
Подскажите пожалуйста где.

Здесь ошибки нет, просто не доделано. Подставляете вместо $A$ и $L$ их явный вид и считаете. Чтобы проще было считать, разбейте полный коммутатор на сумму коммутаторов. Например

$$[L,A]\psi=\ldots+[-u,-4{d^3 \over dx^3}]\psi+\ldots=\ldots-4(u_{xxx}\psi+3u_{xx}\psi_{x}+3u_{x}\psi_{xx})+\ldots$$

Точками обозначены остальные «элементарные» коммутаторы (которые нельзя представить в виде суммы коммутаторов).

Devin в сообщении #828214 писал(а):

Если $u_x, u тоже операторы$ тоже операторы, тогда они тоже должный действовать на функцию $\psi$

Они и действуют $\hat{u}\psi=u\psi$, $\hat{u}_x\psi=u_x\psi.$ Из вида оператора $L$ видно, что он похож на гамильтониан, а $u$ -- это потенциальная энергия.

[Devin]

Спасибо. Большое за Ваши ответы. Правильный ответ получил, здесь главное внимательность и не запутаться в знаках.