Логическая задача Смаллиана

[BTH]

Возник вопрос по задаче 106 из книги "Как же называется эта книга?".

Остров населён персонажами трёх типов: рыцари (говорят только правду), лжецы (говорят только ложь), нормальные люди (иногда говорят правду, иногда лгут).

Условие задачи:

Вы, житель острова рыцарей, лжецов и нормальных людей, влюблены в дочь короля и хотите жениться на ней. Король не желает, чтобы его дочь выходила замуж за нормального человека.
Предположим, что вы не нормальный человек (и поэтому имеете шанс обрести в жёны дочь короля). Чтобы получить согласие короля на ваш брак с его дочерью, вам необходимо убедить его в том, что вы не нормальный человек. Король даёт вам аудиенцию, во время которой вы можете произнести сколько угодно высказываний. Задача подразделяется на две части.
а) Сколько истинных высказываний понадобится вам, чтобы убедить короля в том, что его будущий зять - не нормальный человек?
б) Сколько ложных высказываний понадобится вам, чтобы убедить короля в том, что его будущий зять - не нормальный человек?
(Подчеркнём, что и в том и в другом случае речь идёт о минимальном числе высказываний.)

Ответ из книги:

Любого числа высказываний недостаточно, чтобы убедить короля в вашей ненормальности. Действительно, любые ваши высказывания, сколько бы их ни было, могли бы принадлежать нормальному человеку, так как нормальный человек высказывает и истинные, и ложные утверждения. Следовательно, вам не удастся жениться на дочери этого короля.


Затруднение в том, что у меня есть решение, которое, по-моему, позволяет жениться на дочери короля и в котором я не нахожу ошибок.

Решение:

а) Я говорю: "Либо я — рыцарь, либо я лгу".
Король рассуждает так: "Дизъюнкция двух высказываний истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний и ложна, если ложны оба высказывания. Если претендент:
- рыцарь, то 1-е высказывание истинно, 2-е — ложно, след., дизъюнкция истинна;
- лжец, то 1-е выск. ложно, 2-е — истинно, след., дизъюнкция истинна, противоречие;
- нормальный человек и он говорит правду, то 1-е выск. ложно, 2-е — ложно, след., дизъюнкция ложна, противоречие;
- нормальный человек и он лжёт, то 1-е выск. ложно, 2-е — истинно, след., дизъюнкция истинна, противоречие.
Значит, претендент может быть только рыцарем".

б) Я говорю: "Я — нормальный человек и я лгу".
Король рассуждает так: "Конъюнкция двух высказываний истинна, если истинны оба высказывания и ложна во всех остальных случаях. Если претендент:
- рыцарь, то оба выск. ложны, след., конъюнкция ложна, противоречие;
- лжец, то 1-е выск. ложно, 2-е — истинно, след., конъюнкция ложна;
- нормальный человек и он говорит правду, то 1-е выск. истинно, 2-е — ложно, след., конъюнкция ложна, противоречие;
- нормальный человек и он лжёт, то оба выск. истинны, след., конъюнкция истинна, противоречие.
Значит, претендент может быть только лжецом".

Подскажите, пожалуйста, где ошибки в моих рассуждениях?

(Оффтоп)

Этот вопрос я задавал на Форуме Естественных Наук два года назад. Два человека пытались мне помочь, но меня не убедили. Я тогда сдался и обиделся на Смаллиана Поэтому если эти люди увидят тут эту тему, то, пожалуйста, не обижайтесь.

[Утундрий]

BTH в сообщении #827242 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, где ошибки в моих рассуждениях?

Здесь:

Цитата:

Король рассуждает так...

Ибо, не царское это дело - рассуждать!

[apriv]

BTH в сообщении #827242 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, где ошибки в моих рассуждениях?

В разборе случаев Вы исходите из того, что любое высказывание «нормального человека» должно быть либо истинно, либо ложно.

[BTH]

apriv в сообщении #827292 писал(а):

В разборе случаев Вы исходите из того, что любое высказывание «нормального человека» должно быть либо истинно, либо ложно.

А как может быть иначе? Насколько показывает опыт всех предыдущих задач Смаллиана по этой теме, нормальный человек не может высказывать произвольное утверждение, оно обязательно должно быть либо истинным, либо ложным. И, кстати, в некоторых предыдущих задачах были и подобные попытки, когда ситуация рассматривалась с двух точек зрения: нормальный человек говорит истину или нормальный человек лжёт.

[apriv]

BTH в сообщении #827385 писал(а):

А как может быть иначе? Насколько показывает опыт всех предыдущих задач Смаллиана по этой теме, нормальный человек не может высказывать произвольное утверждение, оно обязательно должно быть либо истинным, либо ложным.

Если понимать условие так (а я оригинал задачи не видел), то Смаллиан ошибается. Впрочем, тут ничего удивительного: многие его рассуждения сомнительны, а некоторые просто неверны. Понять из его писаний что-либо про теорему Геделя или вообще что-нибудь содержательное про математическую логику мне никогда не удавалось.

[iifat]

apriv в сообщении #827292 писал(а):

любое высказывание ... должно быть либо истинно, либо ложно

Что-то мне это напоминает закон исключённого третьего, нет?

[Joker_vD]

Ну, можно ли считать самоссылающиеся предложения высказываниями — вопрос спорный.

[Tor]

Joker_vD в сообщении #827414 писал(а):

Ну, можно ли считать самоссылающиеся предложения высказываниями — вопрос спорный.

А предположение индукции это как, уже не высказывание?

[arseniiv]

А предположение индукции должно быть самоссылающимся?

-- Вт фев 18, 2014 02:39:06 --

Например, $a < n \Rightarrow a < n+1$ — где тут ссылка на себя?

[provincialka]

(Оффтоп)

Вообще они должны говорить не на естественном, а каком-то формализованном языке. Естественный язык - вещь сложная. Например, один сказал: "У Кутузова был один глаз", а другой - "У Кутузова не было одного глаза". И кто из них сказал правду?

[Tor]

arseniiv в сообщении #827915 писал(а):

А предположение индукции должно быть самоссылающимся?

-- Вт фев 18, 2014 02:39:06 --

Например, $a < n \Rightarrow a < n+1$ — где тут ссылка на себя?

А разве индукция не есть часть аксиоматики Пеано? Свойства натуральных чисел ведь не с неба падают.

[Maslov]

BTH в сообщении #827242 писал(а):

а) Я говорю: "Либо я — рыцарь, либо я лгу".
Король рассуждает так: "Дизъюнкция двух высказываний истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний и ложна, если ложны оба высказывания

Вы рассматриваете дизъюнкцию двух утверждений: $A = B \vee C$. Для того чтобы эта дизъюнкция имела смысл, должны быть точно определены оба ее операнда.

С $B$ всё понятно: это "я рыцарь". Утверждение истинно, если говорящий - рыцарь, и ложно в противном случае.

А что в точности означает $C$ ("я лгу")? В каком случае это утверждение истинно, а в каком - ложно?

[iifat]

provincialka в сообщении #827916 писал(а):

И кто из них сказал правду?

Хм. А кто, по-вашему, солгал?

[Tor]

Maslov в сообщении #827960 писал(а):

BTH в сообщении #827242 писал(а):

а) Я говорю: "Либо я — рыцарь, либо я лгу".
Король рассуждает так: "Дизъюнкция двух высказываний истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний и ложна, если ложны оба высказывания

Вы рассматриваете дизъюнкцию двух утверждений: $A = B \vee C$. Для того чтобы эта дизъюнкция имела смысл, должны быть точно определены оба ее операнда.

С $B$ всё понятно: это "я рыцарь". Утверждение истинно, если говорящий - рыцарь, и ложно в противном случае.

А что в точности означает $C$ ("я лгу")? В каком случае это утверждение истинно, а в каком - ложно?

Какая же это дизъюнкция? Это исключающее ИЛИ.

[arseniiv]

Tor в сообщении #827932 писал(а):

А разве индукция не есть часть аксиоматики Пеано? Свойства натуральных чисел ведь не с неба падают.

Как это связано с самоссыланием?

Индукцию можно добавить во много теорий, арифметика ничем не выделена.