Осколки на складе (детская арифметика)

[Ktina]

На складе находилось 25 белых стеклянных чашек и 35 черных фарфоровых. Каждая
стеклянная чашка, падая, разбивается на 7 осколков, а каждая фарфоровая на 8 осколков.
Сторож перекрасил несколько стеклянных чашек в черный цвет, а несколько фарфоровых - в
белый, и случайно разбил все чашки. Могло ли белых осколков оказаться столько же,
сколько и черных?

Казалось бы, общее число осколков должно равняться $25\cdot 7+35\cdot 8$, то есть нечётному числу, откуда немедленно следует отрицательный ответ на задачу.

Однако, авторское решение выглядит немного иначе:
Решение: Нет, не могло. Обозначим через $x$ число перекрашенных стеклянных чашек, а через $y$ число перекрашенных фарфоровых чашек. Тогда белых осколков окажется $7(25-x)+8y=8(35-y)+7x$, что эквивалентно равенству $16y-14x=105$. Но при всех целых значениях неизвестного в левой части стоит чётное число, а в правой нечётное.

Почему?

[Евгений Машеров]

Ну, захотелось автору сделать задачу на иксы, и он не заметил простейшего решения.

[Munin]

Ktina в сообщении #827737 писал(а):

Казалось бы, общее число осколков должно равняться $25\cdot 7+35\cdot 8$, то есть нечётному числу, откуда немедленно следует отрицательный ответ на задачу.

Так не факт же, что разбились все чашки.

[Sinoid]

Ktina в сообщении #827737 писал(а):

Казалось бы, общее число осколков должно равняться $25\cdot 7+35\cdot 8$, то есть нечётному числу, откуда немедленно следует отрицательный ответ на задачу.

А у меня вышло совсем иначе. Вот скажите, сколько осталось белых чашек (с авторскими $x$ и $y$) после того, как сторож их перекрасил?

[Ktina]

Munin в сообщении #827780 писал(а):

Ktina в сообщении #827737 писал(а):

Казалось бы, общее число осколков должно равняться $25\cdot 7+35\cdot 8$, то есть нечётному числу, откуда немедленно следует отрицательный ответ на задачу.

Так не факт же, что разбились все чашки.

Лично меня больше обеспокоило, как можно разбиваться, падая? Может, аффтар имел в виду "упав"?

[Munin]

Можно стукаться обо что-то в процессе падения.

[Sinoid]

Munin в сообщении #827953 писал(а):

Можно стукаться обо что-то в процессе падения.

Ktina в сообщении #827949 писал(а):

Лично меня больше обеспокоило, как можно разбиваться, падая? Может, аффтар имел в виду "упав"?

Мы же все прекрасно поняли, что имелось в виду.

[Ktina]

Sinoid в сообщении #827891 писал(а):

А у меня вышло совсем иначе. Вот скажите, сколько осталось белых чашек (с авторскими $x$ и $y$) после того, как сторож их перекрасил?

$25-x+y$, разве нет?

[Евгений Машеров]

Munin в сообщении #827780 писал(а):

Ktina в сообщении #827737 писал(а):

Казалось бы, общее число осколков должно равняться $25\cdot 7+35\cdot 8$, то есть нечётному числу, откуда немедленно следует отрицательный ответ на задачу.

Так не факт же, что разбились все чашки.

"случайно разбил все чашки"

[Munin]

А. Не дочитал.

[Sinoid]

Ktina в сообщении #827961 писал(а):

Sinoid в сообщении #827891
писал(а):
А у меня вышло совсем иначе. Вот скажите, сколько осталось белых чашек (с авторскими $x$ и $y$) после того, как сторож их перекрасил?
$25-x+y$, разве нет?

Ну. И, значит, сколько белых осколков получилось? А сколько всего осколков получилось? Это я к тому, что вы с вашим опытом решения вот тут

Ktina в сообщении #827737 писал(а):

Казалось бы, общее число осколков должно равняться $25\cdot 7+35\cdot 8$, то есть нечётному числу, откуда немедленно следует отрицательный ответ на задачу.

как-то интересно считанули.

[Sender]

Sinoid в сообщении #828098 писал(а):

как-то интересно считанули.

Количество осколков, на которое разбивается посудина, по условию зависит только от материала, а не от цвета.

[Sinoid]

Sender в сообщении #828104 писал(а):

Количество осколков, на которое разбивается посудина, по условию зависит только от материала, а не от цвета.

Да, точно совсем упустил из виду. Как вариант объяснения приведения автором книги более сложного решения может быть желание его (автора) привести еще один пример применения метода от противного в алгебре. Ведь в программе школы (по крайней мере, средней школы), а задача скорее всего, из книги для школьников, этот метод используется, как правило, в геометрии. Конечно, у ТС доказательство тоже от противного, но оно у нее арифметическое, тогда как на практике шансов получить противоречивое алгебраическое утверждение (как у автора книги) намного больше, чем получить противоречивое арифметическое (как у ТС).
Между прочим, автор показывает, что такого разбиения на белые осколки не бывает.

[Евгений Машеров]

Вообще с авторами задач такое случается. Просмотреть дуальное решение, притом куда более простое и изящное. Иногда от недооценки уровня ученика (как задача на суммирование, решённая маленьким Гауссом), иногда от "замыленности". У Литлвуда в "Математической смеси" приводится экзаменационная задача

Цитата:

Эллипсоид, окружённый идеальной однородной жидкостью, начинает двигаться в произвольном направлении со скоростью V. Показать, что если внешняя граница жидкости - неподвижный софокусный эллипсоид, то количество движения, приобретаемое жидкостью, равно - MV, где M - масса жидкости, вытесненной эллипсоидом.

причём для решения её (и обобщений на другие пары поверхностей) студент должен был использовать достаточно сложный матаппарат. Хотя есть очевидное решение из элементарных физических соображений.

[Ktina]

Евгений Машеров в сообщении #828381 писал(а):

...
причём для решения её (и обобщений на другие пары поверхностей) студент должен был использовать достаточно сложный матаппарат. Хотя есть очевидное решение из элементарных физических соображений.

Вспомнилась похожая задача. Существует ли многогранник, который неустойчив, на какую бы грань его ни поставили?