Вроде как это вообще уравнение не Шрёдингера, а параболическое. Шрёдингер отличается множителем

при производной

что позволяет бежать волнам, а в данном уравнении волны будут не бежать, а просто затухать стоя.
Ваше уравнение я нашёл в справочнике из серии справочников Полянина, Зайцева:
Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. 2001.
в пункте 1.4.1.3 (стр. 107), и там явно выписаны частные через функции Бесселя. Функция Грина описана в пункте 1.8.9-1 (стр. 143).
С другой стороны, я не понимаю, чего у вас не получилось с интегралами Фейнмана, поскольку "потенциал"

(при положительной

) ведёт себя при

сравнительно "хорошо": уходит на бесконечность вверх, а не вниз, а вверх волны высоко не забираются, затухают.
-- 17.02.2014 19:41:12 --P. S. Сильно не уверен, что

будет вообще сохраняться. Он сохраняется только в чистом уравнении теплопроводности, без члена с "потенциалом", а в уравнении Шрёдингера сохраняется

Спасибо за ответ. Да, действительно, решение должно затухать если нет множителя

. Но интеграл Фейнмана ведь все равно можно применить? Я немного зациклился на именно этом подходе, потому что искомый интеграл можно посчитать явно (хотя ответ там малоприятный). А традиционные методы решения (как то метод разделения переменных с последующим сведением задачи к задаче Штурма-Луивилля) приводят к выражениям, с которыми сложнее работать.
Спасибо за наводку на справочник, мне честно говоря не пришла в голову идея обратиться к справочникам. Я бы хотел сейчас более подробно изложить всю задачу и свой подход к ее решению, может быть Вы подкорретируете или поможете его упростить.
Требуется найти фундаментальное решение параболлического уравнения:
![$$
\frac{\partial}{\partial t}p(y,t)
=
\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2}p(y,t)
-\frac{\partial}{\partial y}\left[\left(e^{-a y}/a+b\right)p(y,t)\right],
$$ $$
\frac{\partial}{\partial t}p(y,t)
=
\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2}p(y,t)
-\frac{\partial}{\partial y}\left[\left(e^{-a y}/a+b\right)p(y,t)\right],
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/a/40a62f4e94ede94b575ef22c10dac7c982.png)
где

и

- константы (никаких условий на

не накладывается),

и

Это уравнение описывает переходную плотность вероятности некоторого случайного процесса "живущего" на всей числовой прямой. Т.е. никаких отражающих экранов нет. Это значит, что если сводить уравнение к задаче Штурма-Луивилля, то из граничных условий можно лишь указать, что поток вероятностей
удовлетворяет соотношению:

для всех

. (Кстати, можно ли как-то это конкретизировать?)
Далее, ищем решение в виде:

Вот в этом месте у меня возник вопрос: т.к. процесс

принимает любые значения из

и

, то потенциально интеграл

может быть неограничен. Можно ли тогда вообще искать решение в вышеуказанной форме?
Если продолжить, то формально в этом случае уравнение на

принимает вид:
![$$
\frac{\partial}{\partial t}q(y,t)
=
\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2}q(y,t)-\frac{1}{2}\left[e^{-2ay}/a^2+(2b/a-1)e^{-ay}+b^2\right]q(y,t),
$$ $$
\frac{\partial}{\partial t}q(y,t)
=
\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2}q(y,t)-\frac{1}{2}\left[e^{-2ay}/a^2+(2b/a-1)e^{-ay}+b^2\right]q(y,t),
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/3/863ebb40e73e8b697de8fad701753f3082.png)
т.е. выглядит почти как уравнение Шрёдингера, но без

. Собственно дальше при помощи аппарата Фейнмана из этого уравнения можно найти

, это функция будет вещественной и убывать при

. И как Вы справедливо заметили она будет удовлетворять условию

, а не

. Но это вроде не так страшно, потом все равно можно отнормировать

.
Интеграл Фейнмана тут считается, правда долго и тяжело. Но я бы тоже хотел чуть позже привести все выкладки здесь, т.к., не уверен, что мой ответ верен.
Может быть Вы посоветуете какой-то другой способ отыскания

(а еще лучше

)?
Спасибо.