ОДУ

[Red_Herring]

Для детей младшего университетского возраста (софоморы, 2й курс):

Рассмотрим краевую задачу для ОДУ 1-го порядка:

$$\left\{\begin{aligned}&y'=3y^{\frac{2}{3}},\\&y(0)=-1,\quad y(a)=1.\end{aligned}\right.$$

Найти при каких $a$ эта задача

• Не имеет решений;
• Имеет единственное решение;
• Имеет больше одного решения.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

по моему глубокому имхо олимпиадные задачи по дифурам (даже для детей) начинаются там, где заканчивается интегрирование в квадратурах

[svv]

Как понимать $y^{\frac 2 3}$ при $y<0$?

[Red_Herring]

svv в сообщении #825651 писал(а):

Как понимать $y^{\frac 2 3}$ при $y<0$?

As $|y|^{\frac{2}{3}}$ (кубический корень определен для всех $y$).

[Oleg Zubelevich]

Пусть $f(t,x)\in C(\mathbb{R}^{n+1}),\quad x\in \mathbb{R}^{n},\quad \sup_{(t,x)\in\mathbb{R}^{n+1}}|f(t,x)|<\infty$.

Доказать, что на интервале $|t|\le T$ определено не более континума решений задачи $\dot x=f(t,x),\quad x(0)=\hat x$
($\hat x, T$ -- фиксированы)

[Руст]

А как может быть больше, если самих непрерывных функций всего континиум?

[Oleg Zubelevich]

да, действительно

[Red_Herring]

Руст в сообщении #826151 писал(а):

А как может быть больше, если самих непрерывных функций всего континиум?

Кстати, и обобщенных функций континуум. И даже гиперфункций также континуум. И предполагаю, что то же верно для пространств разумных нелинейных функционалов.

-- 14.02.2014, 03:24 --

Учитывая, что на мой оригинальный пост ответ не был представлен, даю решение:

При $a<0$ задача не имеет решений; при $a\ge 0$ она имеет единственное решение. Действительно, решение уравнения состоит из кусков общего решения $y=(x-C)^3$ и особого решения $y=0$. При $a<0$ они не стыкуются в решение задачи. При $a\ge 0$ стыкуются единственным образом: $y=\left\{\begin{aligned} &(x-1)^3 &&x<1,\\ &0 &&1\le x \le a-2,\\ &(x-a+2)^3 && x>a-2.\end{aligned}\right.$

Кроме тривиального решения в квадратурах задача основана на понимании особого решения.

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим скалярную задачу

$$\dot x=f(x)\in C(\mathbb{R}),\quad x(0)=\hat x.\qquad (*)$$

Будем говорить, что точка $\hat x$ является точкой локальной неоднозначности, если на любом интервале $[0,a)\ni t$ со сколь угодно малым $a>0$, задача (*) имеет не менее двух различных решений .


Доказать, что множество точек локальной неоднозначности не более чем счетно.

[Red_Herring]

Это $f\in C(\mathbb{R})$, а $f(x)\in \mathbb{R}$

http://vocabulary.ru/dictionary/14/word/pedantizm