А как может быть больше, если самих непрерывных функций всего континиум?
Кстати, и обобщенных функций континуум. И даже гиперфункций также континуум. И предполагаю, что то же верно для пространств разумных нелинейных функционалов.
-- 14.02.2014, 03:24 --Учитывая, что на мой оригинальный пост ответ не был представлен, даю решение:
При

задача не имеет решений; при

она имеет единственное решение. Действительно, решение уравнения состоит из кусков общего решения

и особого решения

. При

они не стыкуются в решение задачи. При

стыкуются единственным образом:

Кроме тривиального решения в квадратурах задача основана на понимании особого решения.