Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега

[ewert]

g______d в сообщении #827442 писал(а):

Не вижу, чем в данном случае суммы Римана принципиально отличаются от конечных разностей.

Ровно тем, что они не разности. Это если отвечать формально.

Если же по существу, то тем, что римановские суммы нацелены исключительно на последующее определение интеграла. Без этого они абсолютно бесцельны, ровно как и настолько же абсолютно бессмысленна цитированная Вами статья (именно потому бессмысленна, что там даже и малейших намёков на дальнейшие применения не содержится).

Пока что бессмысленна, во всяком случае. Возможно, она ещё всего лишь в разработке. Но пока что -- она бессмысленна абсолютно.

-- Пн фев 17, 2014 00:40:50 --

SpBTimes в сообщении #827446 писал(а):

Это множество не входит в область определения.

Я не знаю, что такое "область определения". Но дело в том, что если мера счётного объединения по определению должна быть равна сумме мер -- то она обязана быть равна для всех мыслимых объединений, хоть ты тресни. А тут она не только не равна, но даже и не существует (опять же, как ни пыжься).

Видите ли, счётная аддитивность (даже если она и была бы) -- в отсутствие сигма-алгебрности абсолютно бесполезна.

[SpBTimes]

ewert в сообщении #827447 писал(а):

Я не знаю, что такое "область определения".

Мера есть ни что иное, как функция. У нее есть область определения, почему вам кажется это недопустимым?

ewert в сообщении #827447 писал(а):

Но дело в том, что если мера счётного объединения по определению должна быть равна сумме мер -- то она обязана быть равна для всех мыслимых объединений, хоть ты тресни.

С этим я и не спорю. Но вы должны брать то, что умеете мерить, и дробить тем, что умеете мерить. А в остальном - совершенный произвол.

[g______d]

ewert в сообщении #827447 писал(а):

Если же по существу, то тем, что римановские суммы нацелены исключительно на последующее определение интеграла.

Изначально были нацелены, да, на определение с помощью предельного перехода по Риману. Как и конечные разности изначально были введены для определения производной (последнее несколько притянуто за уши, поскольку есть версия, что производные придуманы для вычисления конечных разностей, но не в этом суть).

Ну а теперь же нам объяснили, что те же суммы возникают в определении интеграла Курцвейля-Хенстока. Который замечателен, например, тем, что интегрирует любую точную производную и значительно проще в определении, чем интегралы Перрона и Данжуа.

-- 17.02.2014, 00:59 --

SpBTimes в сообщении #827451 писал(а):

С этим я и не спорю. Но вы должны брать то, что умеете мерить, и дробить тем, что умеете мерить. А в остальном - совершенный произвол.

Равенство "$A=B$" в анализе часто понимается как "если $B$ определено, то $A$ определено и $A=B$".

[mishafromusa]

SpBTimes в сообщении #827446 писал(а):

Я так не считаю. Иначе что же, вы хотите сказать, что если разбить некоторое измеримое множество на дизъюнктную сумму измеримых, то мера суммы не будет равна сумме мер?

Дефект меры Жордана не в том, что она не сигма-аддитивна, а в том, что измеримые по Жордану множества не образуют сигма-алгебры. Мера Лебега и является продолжением (по непрерывности) меры Жордана на сигма-алгебру множеств, измеримых по Лебегу.

-- 16.02.2014, 17:23 --

Это похоже на продолжение непрерывной функции, заданной на неполном пространстве, на его пополнение. В данном случае точками пространства являются множества, измеримые по Жордану. А расстояние между А и В задаётся формулой М(А\B)+М(В\А), где М -- мера Жордана. Это расстояние задаёт псевдометрику, но пространство получается неполное. Его можно пополнить и продолжить М на пополнение. Так и получается мера Лебега. Этот подход применяется в книжке Халмоша "Теория Меры."

[SpBTimes]

mishafromusa
Спасибо за подробный ответ! Я это понимаю и так, мы спорим о терминологии и понятии сигма-аддитивной функции

[mishafromusa]

Да кончайте вы спорить о терминологии, это совершенно бесполезное занятие!

[Deggial]

mishafromusa в сообщении #827465 писал(а):

М(А\B)+М(В\А)

mishafromusa, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #826149 писал(а):

mishafromusa в сообщении #826141 писал(а):

Вот в том-то и дело, что прообразы измеримы по Жордану только для достаточно хороших функций.

Для слишком хороших. Можно построить бесконечно гладкую функцию, не "измеримую" по Жордану: как в статье, взять замкнутое множество, не измеримое по Жордану, потом взять гладкую функцию, равную нулю в точности на этом множестве.

Похоже, что для кусочно-аналитических функций прообразы интервалов будут измеримы по Жордану, и схема Лебега с разбиением области значений на интервалы и мерой Жордана вместо меры Лебега всё ещё будет работать.

[ex-math]

ewert в сообщении #827406 писал(а):

конструкция интеграла Римана по определению определяется разбиением именно области определения.

Чем определяется отличие одного "интеграла" от другого? Классом функций, на котором определение работает, и результатом интегрирования для каждой функции из этого класса. Если две "конструкции" имеют один и тот же класс интегрируемых функций и результаты интегрирования у них совпадают, то логично не отличать их одну от другой -- это один и тот же "интеграл", просто определенный по-разному. Но Вы почему-то считаете эти "интегралы" различными. По Вашей логике выходит, что интеграл Лебега, определенный через лебеговы суммы и через простые функции -- это два разных интеграла Лебега.

ewert в сообщении #827406 писал(а):

Была лишь ссылка на то, что интеграл Лебега можно определить не разбиением множества значений, а предельным переходом от простых функций. Однако же предельный переход -- это ни разу никакое не разбиение. Ни по-русски, ни по-английски.

И ссылка на интеграл Курцвейля-Хенстока, который определяется с помощью разбиений области определения и обобщает интеграл Лебега.

И ссылка на конструкцию с помощью простых функций (т.е. конструкцию "лебегова типа"), приводящая к интегралу Римана.

[RIP]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #826687 писал(а):

mishafromusa в сообщении #826676 писал(а):

Как раз при чём, интеграл Лебега может быть построен разбиением интервала интегрироания на непересекающиеся подинтервалы и составлением римановых сумм.

Возможно, Вы правы, тогда извините. Действительно, интеграл Римана получится, если в качестве калибровочных функций в интеграле Курцвейля-Хенстока разрешить только константы.

А что насчет интеграла Лебега? Можете точно сформулировать?

Если в определении интеграла Курцвайля–Хенстока отбросить условие $\xi_k\in[x_{k-1},x_k]$, то получится интеграл МакШейна, который эквивалентен интегралу Лебега (для классической меры). В английской Вики это упоминается: http://en.wikipedia.org/wiki/Henstock%E ... e_integral

[mishafromusa]

RIP в сообщении #827689 писал(а):

Если в определении интеграла Курцвайля–Хенстока отбросить условие $\xi_k\in[x_{k-1},x_k]$, то получится интеграл МакШейна, который эквивалентен интегралу Лебега (для классической меры). В английской Вики это упоминается: http://en.wikipedia.org/wiki/Henstock%E ... e_integral

Разобраться почему интегралы Лебега и МакШейна совпадают -- интересная задача по теории меры и интеграла.