2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 22:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
g______d в сообщении #826592 писал(а):
2) Если допустимыми считаются разбиения на измеримые по Лебегу множества, то получится интеграл Лебега.

Не получится. Что есть условие предельного перехода?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 23:16 


12/02/14
808
По этому вопросу советую посмотреть заметку об интеграле Курцвейля — Хенстока.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0% ... 0%BA%D0%B0

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 23:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Не надо ничего никуда смотреть. Речь лишь о том, что скрестить ужа с ежом не выйдет. Если условием перехода является стремление к нулю диаметров (а это в римановом случае свято), то никакое обобщение понятия меры в лучшем случае не поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
ewert в сообщении #826614 писал(а):
условием перехода является стремление к нулю диаметров (а это в римановом случае свято)


Наконец-то понял, к чему Вы цепляетесь. Я имел в виду определение интеграла Римана по Дарбу, там нет никакого стремления к нулю диаметров (ну т. е. по факту есть, но в определении не предполагается). Думаю, что в цитированном абзаце из Титчмарша тоже имелось в виду определение Дарбу.

-- 15.02.2014, 01:17 --

mishafromusa в сообщении #826609 писал(а):
По этому вопросу советую посмотреть заметку об интеграле Курцвейля — Хенстока.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0% ... 0%BA%D0%B0


Да не при чем это здесь, я писал уже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 01:17 


12/02/14
808
Как раз при чём, интеграл Лебега может быть построен разбиением интервала интегрироания на непересекающиеся подинтервалы и составлением римановых сумм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 02:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #826676 писал(а):
Как раз при чём, интеграл Лебега может быть построен разбиением интервала интегрироания на непересекающиеся подинтервалы и составлением римановых сумм.


Возможно, Вы правы, тогда извините. Действительно, интеграл Римана получится, если в качестве калибровочных функций в интеграле Курцвейля-Хенстока разрешить только константы.

А что насчет интеграла Лебега? Можете точно сформулировать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 05:43 


12/02/14
808
Дело в том, что для положительных функций К-Х-интеграл совпадает с интегралом Лебега, поэтому получается, что абсолютно интегрируемые функции -- те же самые для обоих интегралов. Курцвейль-Хенсток даёт что-то новое только в неабсолютно интегрируемом случае. Я в доказательстве детально не разбирался, но сам факт становится ясным, если вспомнить, что интеграл Лебега положительной функции -- это площадь её подграфика, где под площадью пониматется мера Лебега на плоскости. Кстати, если под площадью понимать обычную площадь, т.е. меру Жордана, то получится интеграл Римана. Сама идея интеграла Курцвейля — Хенстока достаточно прозрачна, и состоит в том, что там, где функция меняется быстро, нужно брать разбиения помельче, т.е. довольно популярная идея из вычислительной математики. С другой стороны -- само существование оснащённого разбиения, подчинённого данной калибровке опирается на компактность, что усложняет определение К-Х-интеграла и делает его неконструктивным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 06:59 


12/02/14
808
На случай, если человек, начавший всю эту дискуссию, ещё следит за ней, я замечу 2 основных различия мер Лебега и Жордана. 1)Жордан использует только конечные объединения прямоугольников для оценки меры, а Лебег применяет и счётные. 2)Жордан приближает фигуру "снаружи" и "изнутри" а Лебег считает, что фигура Ф близка по площади к конечному набору прямоугольников П если площадь Ф\П и П\Ф мала, т.е. эти множества можно покрыть конечным или счётным набором прямоугольников с малой суммарной площадью. Вот и вся разница, остальное -- технические подробности.

Для овладения предметом ему нужно взять задачник по мере и интегралу Лебега и порешать задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 08:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mishafromusa в сообщении #826676 писал(а):
интеграл Лебега может быть построен разбиением интервала интегрироания на непересекающиеся подинтервалы и составлением римановых сумм.

Что такое римановы суммы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 12:08 


12/02/14
808
ewert в сообщении #826714 писал(а):
mishafromusa в сообщении #826676 писал(а):
интеграл Лебега может быть построен разбиением интервала интегрироания на непересекающиеся подинтервалы и составлением римановых сумм.

Что такое римановы суммы?


Они составляются так: в некоторой точке каждого подинтервала, вычисляется значение функции и умножается на длину этого подинтервала, а потом эти произведехия суммируются. Интеграл Римана -- предел римановых сумм, когда длина самого длинного из подинтервалов стремится к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 13:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mishafromusa в сообщении #826757 писал(а):
в некоторой точке каждого подинтервала, вычисляется значение функции и умножается на длину этого подинтервала, а потом эти произведехия суммируются. Интеграл Римана -- предел римановых сумм,

И чему же этот предел будет равен, если подсунуть под него функцию Дирихле?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 13:18 


12/02/14
808
ewert в сообщении #826773 писал(а):
mishafromusa в сообщении #826757 писал(а):
в некоторой точке каждого подинтервала, вычисляется значение функции и умножается на длину этого подинтервала, а потом эти произведехия суммируются. Интеграл Римана -- предел римановых сумм,

И чему же этот предел будет равен, если подсунуть под него функцию Дирихле?...


Функция Дирихле не интегрируема по Риману. Почитайте ссылки об интеграле Курцвейля-Хенстока, которые я привёл, и книжки/статьи, которые там указаны, может тогда поймёте. Кстати, проинтегриривать функцию Дирихле по Курцвейлю-Хенстоку -- неплохое упражнение, вообще понять почему К-Х-интеграл не меняется, когда функцию меняют на множестве меры нуль -- тоже интересная задачка, рекомендую. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 18:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mishafromusa в сообщении #826775 писал(а):
Функция Дирихле не интегрируема по Риману.

Но Вы же обещали Лебега, и именно с помощью римановых сумм:

mishafromusa в сообщении #826676 писал(а):
интеграл Лебега может быть построен разбиением интервала интегрироания на непересекающиеся подинтервалы и составлением римановых сумм.

Уж выберите что-то одно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 19:13 


12/02/14
808
Дорогой ewert, для положительных функций интегралы Лебега и Курцвейла-Хенстока совпадают, а К-Х-интеграл строится с помощью римановых сумм. Надеюсь, что теперь понятно. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение15.02.2014, 21:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mishafromusa в сообщении #826886 писал(а):
а К-Х-интеграл строится с помощью римановых сумм. Надеюсь, что теперь понятно. :-)

Нет, непонятно. Интеграл Лебега в принципе не может получаться с помощью римановых сумм (если они хоть сколько-то римановы), это просто тривиальщина. Если же Вы хотели сказать, что имелись в виду суммы римановы в том смысле, что они не римановы, ибо никаких римановых сумм, за исключением неримановых, не бывает -- ну так бы честно и сказали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 116 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group