Соотношение теории нечетких множест и теории вероятностей

[prof.uskov]

Теория нечетких множеств и теория вероятностей (ТВ) - способы математического описания систем в условиях неопределенности (наряду с более грубыми интервальными методами).

Но взгляды на соотношение теории нечетких множеств и теория вероятностей весьма различны. Имеется, по крайне мере, три мнения.
1. Теория нечетких множеств и теория вероятностей - различные виды описания неопределенности. Вероятность - неопределенность будущего события, которое происходит или нет, функция принадлежности - степень принадлежности элемента нечеткому множеству (Леоненков А.В. Нечеткое моделирование... 2005, стр. 30).
2. Теория нечетких множеств - часть теории вероятностей. Если ввести понятие случайного множества, то вероятность принадлежности элемента этому множеству можно интерпретировать, как функцию принадлежности теории нечетких множеств (Орлов А.И. Теория нечетких множеств - часть теории вероятностей).
3. Теорию вероятностей - является частным случаем теории нечетких множеств, а не наоборот. Так в теории вероятностей логические операции "пересечение" и "объединение" задаются выражениями: $P_a*P_b$ и $P_a+P_b-P_a*P_b$, что определено аксиомами Колмогорова и только при таком определении будут выполняться статистические свойства вероятности, как мне представляется. В теории же нечетких множеств, способов задания логических операций бесконечно много, в частности, наиболее распространено не совпадающее с теорией вероятностей, но простое для вычислений, определение: $min(M_a,M_b)$ и $max(M_a,M_b)$.

[provincialka]

prof.uskov, и в чем ваш вопрос?

[prof.uskov]

Какой из трех вариантов является верным или, хотя бы, представляется верным?

[provincialka]

Мне нравится первый. Но, насколько я знаю, теория нечетких множеств не получила большого распространения. Используется в основном характеристическая функция как способ описания данных. Например, в методе кластеризации c-means.

[BVR]

Дюбуа и Прад называется примерно "Теория возможностей" (забыл). Там есть глава, где как раз обсуждается применения вероятности как функции принадлежности.

[prof.uskov]

provincialka в сообщении #826894 писал(а):

Мне нравится первый. Но, насколько я знаю, теория нечетких множеств не получила большого распространения. Используется в основном характеристическая функция как способ описания данных. Например, в методе кластеризации c-means.

Сразу видно классического математика.
Это теория вероятностей не получила большого распространения. Шучу, конечно, НО...
Теория нечетких множеств имеет широчайшее применение в системном анализе, управлении и обработке информации.
По запросу "Fuzzy", Google выдает 21 100 000 ссылок.

[provincialka]

prof.uskov в сообщении #826907 писал(а):

Теория нечетких множеств имеет широчайшее применение в системном анализе, управлении и обработке информации.

Отрадно слышать! Я, в некотором смысле, являюсь поклонницей этой теории. А там какой подход (по номеру)?

[prof.uskov]

provincialka в сообщении #826910 писал(а):

prof.uskov в сообщении #826907 писал(а):

Теория нечетких множеств имеет широчайшее применение в системном анализе, управлении и обработке информации.

Отрадно слышать! Я, в некотором смысле, являюсь поклонницей этой теории. А там какой подход (по номеру)?

Мой вариант номер 3.

-- 15.02.2014, 21:42 --

Собственно вопрос, на сколько корректна замена вероятности нечеткостью?
Вот есть сетевой график, продолжительности работ точно не известны - случайны.
Если использовать ТВ, то вычисления весьма громоздки, а если использовать нечеткие множества, да еще LR-аппроксимацию все получается просто.
http://ubs.mtas.ru/archive/search_resul ... n_id=19179

-- 15.02.2014, 21:50 --

BVR в сообщении #826904 писал(а):

Дюбуа и Прад называется примерно "Теория возможностей" (забыл). Там есть глава, где как раз обсуждается применения вероятности как функции принадлежности.

Спасибо, что напомнили, давно ее читал, посмотрю.

[Xaositect]

Если я не ошибаюсь, в теории нечетких множеств степень принадлежности элемента пересечению или объединению однозначно определяется степенями принадлежности этого элемента множествам-операндам. А для случайных множеств события принадлежности разным множествам могут быть зависимы, и поэтому вероятность принадлежности пересечению может быть разной при одних и тех же вероятностях принадлежности исходным множествам. Так что теория вероятности частным случаем не является.

[prof.uskov]

Xaositect в сообщении #826922 писал(а):

Если я не ошибаюсь, в теории нечетких множеств степень принадлежности элемента пересечению или объединению однозначно определяется степенями принадлежности этого элемента множествам-операндам. А для случайных множеств события принадлежности разным множествам могут быть зависимы, и поэтому вероятность принадлежности пересечению может быть разной при одних и тех же вероятностях принадлежности исходным множествам. Так что теория вероятности частным случаем не является.

Я тоже об этом думал. В теории вероятностей события могут быть зависимые и независимые. В теории нечетких множеств, обычно, рассматривается только случай независимых... но кто мешает обобщить... Зато в теории нечетких множеств бесконечное количество способов реализации операций для независимых... А для независимых, является частным случаем?

[Руст]

А я сторонник четвертого варианта.
Отношением на паре множеств называется подмножество $A*B$.
Это можно задать функцией $\lambda:A*B\to \{0,1\}$.
Аналогично отношением на одном множестве (одно-отношение) можно задать характеристической функцией
$\lambda:A\to\{0,1\}$. Это определяет подмножество (классическое) множества А.
Нечетким подмножеством называют отображение $\lambda:A\to [0,1]$, когда множеством значений характеристической функции является не только 0 и 1 а весь интервал, что
можно интерпретировать как принадлежность точек множеству с вероятностью от 0 до 1.
Но в физике часто встречаются положение, когда значением характеристической функцией является более общее кольцо, например С.
Когда принадлежность двух точек х,у подмножеству А не определяется, а определяется только их отношение, а именно
точка х принадлежит нечеткому множеству подмножества А в $\frac{|\lambda(x)|}{|\lambda{y}|}$ раз больше, чем точка у.
Норма комплексного числа определяется как квадрат модуля. При этом не всегда характеристическая функция $\lambda:A\to C$ принадлежит в $L_2$, т.е.
норма значения (являющейся квадратом модуля) характеристической функции не всегда интегрируема и соответственно не всегда нормируема.
В этом смысле обобщаются и теория нечетких множеств и теория вероятности с произвольной характеристической функцией со значениями
в кольце $\lambda:A\to B$, с интерпретацией точка х принадлежит нечеткому множеству в $\frac{|\lambda(x)|}{|\lambda(y)|}$ раз чаще, чем точка у, где $|.|:B\to R_+$ некоторая функция нормы на множестве значений характеристической функции.
В этом смысле понятие отношения на одном множестве приобретает более естественный смысл.

[prof.uskov]

Хорошо сказали!

А как считаете, насколько корректно использование нечетких множеств в задачах, где по смыслу явно вероятность, для упрощения выкладок?

[Руст]

Вероятность эта только интерпретация меры $|\lambda(a)|da$, когда интеграл конечен.
Я предлагаю вводить более общее определение одно отношения, как произвольной
(с локально интегрируемой нормой) $\lambda:A\to B$. При этом мера $|\lambda(a)|da$
не всегда определена, и если даже определена не всегда является вероятностной.

[arseniiv]

prof.uskov в сообщении #826926 писал(а):

Зато в теории нечетких множеств бесконечное количество способов реализации операций для независимых...

А эта неопределённость — разве достоинство? По-моему, это как раз недостаток. Может статься, польза от применения нечётких вещей будет именно из-за выбора операций, а не из-за «нечёткости».

prof.uskov в сообщении #826926 писал(а):

В теории вероятностей события могут быть зависимые и независимые. В теории нечетких множеств, обычно, рассматривается только случай независимых... но кто мешает обобщить...

И такое обобщение будет не лучше теории вероятностей.

prof.uskov в сообщении #826962 писал(а):

А как считаете, насколько корректно использование нечетких множеств в задачах, где по смыслу явно вероятность, для упрощения выкладок?

Совершенно некорректно. Но это моё личное мнение.

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #826979 писал(а):

prof.uskov в сообщении #826926 писал(а):

Зато в теории нечетких множеств бесконечное количество способов реализации операций для независимых...

А эта неопределённость — разве достоинство? По-моему, это как раз недостаток. Может статься, польза от применения нечётких вещей будет именно из-за выбора операций, а не из-за «нечёткости».

Достоинство, мы можем выбирать те операции, которые в данном случае выполнять вычислительно проще. Например, принцип обобщения в теории нечетких множеств - по сути имеет аналог в теории вероятностей - умножение двух случайных величин, заданных рядами распределения, но за счет использования операций min и max все значительно проще.