Когда образ нелинейного оператора - выпуклое множество?

[demakova]

Пусть $X$ - банахово пространство, $f: X \to X$ - нелинейный оператор, определенный всюду на $X$. Когда $f(X)$ - выпуклое множество? Есть ли необходимые и достаточные (или хотя бы достаточные) условия выпуклости образа произвольного нелинейного оператора?

[mihailm]

что есть нелинейный оператор?

[demakova]

Это произвольное отображение, не являющееся линейным.

[ewert]

Это мне напоминает изречение из О.Генри: "Почему существует на свете полисмен?..."

Будем проще, спустимся к гильбертову случаю. Что есть необходимое и достаточное условие положительности оператора?

-- совершенно верно: его положительность.

[mihailm]

Если допускаются любые разрывные отображения, то даже неясно как будет выглядеть условие на отображение.
Какие классы разрывных отображений вообще есть (кроме банально биективных, инъективных сюръективных)?

[demakova]

Хорошо, будем считать $f$ непрерывным отображением.

Я понимаю вашу иронию. Меня интересует этот вопрос вот почему. Проверять на практике выпуклость образа отображения не очень удобно, на мой субъективный взгляд.
Нет ли чего-нибудь, что было бы равносильным выпуклости образа (или из чего хотя бы следовала бы выпуклость образа), но чтобы это что-нибудь было более удобопроверяемым?

Конечно же, можно для начала ограничиться случаем гильбертова пространства, наложить на отображение $f$ не слишком жесткие требования типа непрерывности, еще какие-то ограничения-условия.

Вот в чем смысл моего вопроса.

[ewert]

demakova в сообщении #826618 писал(а):

Конечно же, можно для начала ограничиться случаем гильбертова пространства, наложить на отображение $f$ не слишком жесткие требования типа непрерывности,

Гильбертовость там была совершенно не при чём -- она была лишь так, к слову.

Ладно, спустимся ещё ниже (практически в адъ) -- тупо к функциям одной переменной. Что там является условием выпуклости -- и, что самое интересное, в каких терминах-то?...

[demakova]

Я прекрасно понимаю, что гильбертовость вы привели для иронии - для иллюстрации тавтологии. В своем сообщении я написала, что ладно, можно для начала ограничиться гильбертовым случаем. Та моя предыдущая запись никак не была связана с вашей записью, в которой вы помянули гильбертово пространство.

А что касается функций $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, для которых $D(f)=\mathbb{R}$ и $f(\mathbb{R})$ - выпуклое множество, то ведь выпуклость множества из $\mathbb{R}$ равносильна его связности и такими множествами могут быть только интервалы-отрезки да полупрямые-лучи, ну и сама прямая $\mathbb{R}$, конечно. Так что по крайней мере достаточным условием выпуклости $f(\mathbb{R})$ будет условие непрерывности функции $f$ на всей действительной прямой (ведь непрерывный образ связного множества, коим является $\mathbb{R}$, обязан быть связным). Так что "в аду", т.е. для всюду определенных функций $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, выпуклость $f(\mathbb{R})$ следует из непрерывности $f$.
А непрерывность - удобоваримое условие.

Но вот как быть для следующих по степени сложности отображений, т.е. когда мы перейдем от прямой к плоскости, т.е. $f: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ ? На плоскости выпуклость множества уже не сводится к его связности...

Все-таки я считаю, что мой вопрос имеет право на существование.

-- 15.02.2014, 01:02 --

И решить (то бишь вычислить, найти, сосчитать) интеграл все-таки очень даже возможно, а вовсе не "невозможно", как считают некоторые язвительно выпендриваясь.

[Toucan]

demakova в сообщении #826658 писал(а):

И решить (то бишь вычислить, найти, сосчитать) интеграл все-таки очень даже возможно, а вовсе не "невозможно", как считают некоторые язвительно выпендриваясь.

Forum Administration в Правилах форума писал(а):

1) Нарушением считается:
...
е) ... обсуждение в тематических разделах ников*, аватаров*, подписей* собеседников.
____________________
* За исключением раздела "Свободный полет"