Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега

[ewert]

В этом же топике речь ведь вовсе не о книжках; ТС ведь сам честно признался, что формально он всё понимает. Речь о стимуляции этого понимания.

[mishafromusa]

Да, но в книжках, которые я порекомендовал (в особенности у Колмогерова), содержатся и неформальные объяснения меры и интеграла.

[SpBTimes]

djuuj в сообщении #825765 писал(а):

Не $\sigma$-аддитивная, а просто аддитивная, и не на $\sigma$-алгебре, а на просто алгебре. Почему такие меры не подходят для построения интеграла всё ещё не понятно.

Как же она не сигма-того? Ну да, определена она не на сигма-алгебре, но уж если дизъюнктное объединение оказывается измеримым, то все хорошо.

[djuuj]

Согласен, ошибся.

-- Чт фев 13, 2014 20:41:59 --

mishafromusa в сообщении #826038 писал(а):

Да, но в книжках, которые я порекомендовал (в особенности у Колмогерова), содержатся и неформальные объяснения меры и интеграла.

Читал Колмогорова. Что-то не припомню неформальных объяснений там. Разве что может тривиальные, типа "аппроксимируем множество элементарными". А в основном изложение состоит из неочевидных определений и алгебраических преобразований, и всё кажется каким-то надуманным. Имхо.

[SpBTimes]

Что касается интеграла. Знаете, как Лебег писал?
Если использовать риманову конструкцию, то вы считаете так, как попадается под руку. А тут...
Ну представьте, есть у вас гора денег разного достоинства, которая в стопку сложена. Как считается по Риману? Подряд. А как по Лебегу? У меня есть 5 бумажек по 5 рублей, т.е. $5 \cdot 5$ рублей, 2 бумажки по 3 рубля, т.е. $2 \cdot 3$ рублей, а потом эти числа складываете. Результат-то такой же получится, но способ подсчета отличается радикально!
А что касается меры.. Ну возьмите (нарисуйте) ограниченное множество и попробуйте его приблизить (на рисунке) сверху и снизу прямоугольниками (по Жордану), и потом по Лебегу. А теперь возьмите неизмеримое, и попробуйте то же самое. Может, что увидите?

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #825926 писал(а):

а разве функция $f(x)=\sin(1/x),\quad x\ne 0,\qquad f(0)=0,\quad x\in [-1,1]$ не является контрпримером к Вашему утверждению?

По-моему, нет. Она интегрируема по Риману и приближается простыми функциями по Жордану, достаточно разбить $[-1,1]$ на маленькие интервалы и взять их прообразы.

[ewert]

SpBTimes в сообщении #826042 писал(а):

Как же она не сигма-того?

Ну вот не сигма, увы.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #826133 писал(а):

и приближается простыми функциями по Жордану, достаточно разбить $[-1,1]$ на маленькие интервалы и взять их прообразы.

а можно подробнее?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #826136 писал(а):

а можно подробнее?

Ну, прообразы-то тут по Жордану измеримы, конечно.

[Oleg Zubelevich]

сперва мне показалось, что при такой конструкции в замыкании должны получаться только функции с разрывом первого рода

[g______d]

Нашел, где это доказывается. Статья в Annals 1933 года, последняя теорема.

http://www.math.uga.edu/~pete/Frink33.pdf

[mishafromusa]

Вот в том-то и дело, что прообразы измеримы по Жордану только для достаточно хороших функций. Трудность в том, что слишком многие множества неизмеримы по Жордану, и мера Лебега устраняет эту трудность, так как множеств, измеримых по Лебегу, гораздо больше.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #826141 писал(а):

Вот в том-то и дело, что прообразы измеримы по Жордану только для достаточно хороших функций.

Для слишком хороших. Можно построить бесконечно гладкую функцию, не "измеримую" по Жордану: как в статье, взять замкнутое множество, не измеримое по Жордану, потом взять гладкую функцию, равную нулю в точности на этом множестве.

К счастью, это условие не является необходимым для интегрируемости по Риману.

[ewert]

g______d в сообщении #826140 писал(а):

Статья в Annals 1933 года, последняя теорема.

g______d в сообщении #826140 писал(а):

Статья в Annals 1933 года, последняя теорема.

Это замечательно, конечно, но ведь это вовсе не лебегова конструкция. Для лебеговой нужно всё-таки, чтобы прообразы были измеримы (в данном случае по Жордану).

[g______d]

ewert в сообщении #826150 писал(а):

Это замечательно, конечно, но ведь это вовсе не лебегова конструкция. Для лебеговой нужно всё-таки, чтобы прообразы измеримы (в данном случае по Жордану).

Ну очевидно (ровно из-за того, что свойство измеримости прообразов по Жордану слишком сильное), что интеграл Римана не определить с помощью лебеговой конструкции. Мне было интересно, существует ли конструкция, объединяющая оба интеграла и отличающаяся только заменой меры Лебега на меру Жордана. Мне кажется, я ответил на этот вопрос.

Кстати говоря, что такое лебегова конструкция? Мне казалось, что классически это как раз и есть аппроксимация простыми функциями (разве что не равномерная). Определение интеграла с помощью разбиения области значений – на самом деле не определение, а теорема, работающая только для вещественнозначных функций; область значения функции, вообще говоря, может не обладать никакими естественными разбиениями.