Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега

[ewert]

ex-math в сообщении #825637 писал(а):

Можно определить его аналогично риманову, разбивая область определения,

Теорекхтицски -- не исключаю, что и можно; пракхтицски же -- нельзя.

Проблема в том, что в римановой конструкции вообще не заложено ни малейшей концепции меры.

ex-math в сообщении #825637 писал(а):

Для интеграла Римана это мера Жордана, для лебегова -- более гибкая и универсальная мера Лебега.

И аналогично: для интеграла Римана вообще никакого понятия меры не предполагается, даже и Жордана (ну разве что какое-то интуитивное).

-- Ср фев 12, 2014 21:54:09 --

g______d в сообщении #825679 писал(а):

О, да, я от кого-то давно слышал про это заблуждение, и давно хотел спросить: бывает ли интеграл Лебега по мере Жордана?

Вот именно. И именно потому не бывает, что мера Жордана -- это, строго говоря, и вовсе никакая не мера.

[ex-math]

ewert
Хорошо, а если я построю интегральную сумму "по Лебегу", а меры прообразов буду брать жордановы, что получится?

[ewert]

а если я скрещу ужа с ежом -- то что получится?...

Строго говоря -- не исключено, что хоть чего-нибудь да и получится. Чудеса всякие случаются.

[g______d]

По-видимому, можно так: определяем для простых функций (т. е. линейных комбинаций индикаторных функций измеримых множеств), потом распространяем на функции, которые можно равномерно приблизить простыми. Любую измеримую по Лебегу функцию можно приблизить простыми как раз с помощью разбиения области значений.

Равномерное замыкание множества простых функций по мере Жордана, по-видимому, совпадает со множеством функций, интегрируемых по Риману, т. е. непрерывных почти везде. Хотя я не проверял, так ли это. Для простоты рассматриваем только ограниченные функции на конечных интервалах.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #825741 писал(а):

Равномерное замыкание множества простых функций по мере Жордана, по-видимому, совпадает со множеством функций, интегрируемых по Риману

нет. Лоран Шварц Анализ

[ewert]

Да кустарщина всё это какая-то.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #825743 писал(а):

нет. Лоран Шварц Анализ

А можно ссылку или хотя бы описание замыкания этого множества? Я сходу не нашел, там много страниц.

-- 13.02.2014, 01:18 --

ewert в сообщении #825740 писал(а):

а если я скрещу ужа с ежом -- то что получится?...

Строго говоря -- не исключено, что хоть чего-нибудь да и получится. Чудеса всякие случаются.

Странный подход. Ну либо Вы принципиально не хотите в таких темах писать что-то, кроме присутствующего в учебниках для студентов.

По-моему, вполне естественный вопрос, скорее всего, с известным ответом: существует ли абстрактная конструкция, объединяющая основные определения интегралов. В моем исполнении, может быть, и кустарщина, поэтому и спрашиваю, не думал ли на этим кто поумнее.

[djuuj]

ewert в сообщении #825695 писал(а):

для интеграла Римана вообще никакого понятия меры не предполагается, даже и Жордана (ну разве что какое-то интуитивное).

В Кудрявцеве кратный интеграл Римана определяется через разбиения области интегрирования на измеримые по Жордану куски.

ewert в сообщении #825695 писал(а):

мера Жордана -- это, строго говоря, и вовсе никакая не мера.

В широком смысле всё-таки мера. Не $\sigma$-аддитивная, а просто аддитивная, и не на $\sigma$-алгебре, а на просто алгебре. Почему такие меры не подходят для построения интеграла всё ещё не понятно.

ewert в сообщении #825749 писал(а):

Да кустарщина всё это какая-то.

Понимание того, почему наивные подходы к определению интеграла в произвольном измеримом пространстве не работают, возможно, помогло бы лучше понять смысл интеграла Лебега.

[ewert]

djuuj в сообщении #825765 писал(а):

В Кудрявцеве кратный интеграл Римана определяется через разбиения области интегрирования на измеримые по Жордану куски.

Для кратного -- да. В чём проблема с кратными интегралами? Когда мы говорим о произвольных разбиениях, необходимо указать, на какие именно куски мы имеем право разбивать область (в одномерном случае такой проблемы нет). Т.е. необходимо всё-таки формально указать, какие множества считаются имеющими площадь, хоть в каком-нибудь смысле. Так вот мера Жордана только для наведения формального порядка и нужна -- только для того, чтобы придать определению интеграла точный смысл (хотя в первом приближении её можно и проигнорировать, ограничившись интуитивными представлениями о площади).

djuuj в сообщении #825765 писал(а):

Не $\sigma$-аддитивная, а просто аддитивная, и не на $\sigma$-алгебре, а на просто алгебре. Почему такие меры не подходят для построения интеграла всё ещё не понятно.

Мне это тоже не понятно. Почему не подходят? Они вполне подходят. Просто функциональные пространства при этом оказываются неполными относительно интегральных норм. Для конкретных расчётов это не имеет ни малейшего значения, а вот для теории -- крайне плохо.

[ex-math]

Просто при такой расстановке акцентов создается впечатление, что гениальная идея Лебега -- это именно разбиение области значений. Но главное-то не в этом, а в создании теории меры.

[ewert]

ex-math в сообщении #825849 писал(а):

создается впечатление, что гениальная идея Лебега -- это именно разбиение области значений.

А оно так и есть. Придумывание меры -- это уже вынужденный шаг, к тому же не несущий в себе ничего революционного по сравнению с мерой Жордана. Подумаешь, счётная аддитивность добавилась; а зачем она нужна-то?... А вот ровно для новой конструкции интеграла и нужна.

[mishafromusa]

Счётная аддитивность придаёт интегралу приятные свойства, например, полноту пространства абсолютно интегрируемых функций, но для определения интеграла она не нужна.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #825762 писал(а):

А можно ссылку или хотя бы описание замыкания этого множества? Я сходу не нашел, там много страниц.

а разве функция $f(x)=\sin(1/x),\quad x\ne 0,\qquad f(0)=0,\quad x\in [-1,1]$ не является контрпримером к Вашему утверждению?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #825918 писал(а):

но для определения интеграла она не нужна.

Не нужна. Но без прицела на неё и само это определение (как новое) никому не нужно.

[mishafromusa]

Я бы посоветовал 2 книжки на эту тему. 1) Колмогоров и Фомин: Элементы теории функций и функционального анализа. 2) Шилов и Гуревич: Интеграл, мера и производная.