Проценты.

[kthxbye]

Пустяковая задача, но у меня все таки возникли затруднения. Дана сторона квадрата/куба $a$, вывести формулу увеличения площади квадрата (объема куба соот.-но) в процентном соотношении от исходной, при увеличении стороны на $10n%$ %.

С квадратом все просто:

$n = 1, a = 10, S = 21;$
$n = 2, a = 20, S = 44;$
$n = 3, a = 30, S = 69;$
$n = 4, a = 40, S = 96;$

$2(21) + 2 = 44, 3(21) + 6 = 69, 4(21) + 12 = 96;$

т.е. общий вид формулы будет выглядеть так:

$21n + \frac{2n(n-1)}{2} = n(n + 20);$

С кубом интереснее:

$n = 1, a = 10, V = 33,1;$
$n = 2, a = 20, V = 72,8;$
$n = 3, a = 30, V = 119,7;$
$n = 4, a = 40, V = 174,4;$
$n = 5, a = 50, V = 237,5;$

$72,8 - 66,2 = 6,6; 119,7 - 99,3 = 20,4;$

$174,4 - 132,4 = 42; 237,5 - 165,5 = 72;$

$6 + 0,6 = 6,6; 18 + 2,4 = 20,4;$

$36 + 6 = 42; 60 + 12 = 72;$

Встает вопрос - как записать соотношение $n$ и получившегося ряда чисел $1, 4, 10, 20, 35$?

Максимум, что я смог выделить, так это

$1$ ___ $1$
$3$ ___ $4$
$6$ __ $10$
$10$ _ $20$
$15$ _ $35$

[provincialka]

Лучше в общем виде. Пусть сторона увеличивается на $10n\%$ процентов, т.е. на долю $p=\frac n{10}$. Тогда новая длина равна $a+ap = a(1+p)$. Площадь квадрата составит $a^2(1+2p+p^2)$, то есть увеличится на долю $2p+p^2=\frac {2n}{10}+\frac{n^2}{100}=(20n+n^2)\%$. Если $p$ мало, то последним слагаемым можно пренебречь, так что площадь увеличится на долю (примерно) $2p$, т.е. на $20n\%$. Аналогично объем куба увеличивается примерно на $3p=30n\%$.

[kthxbye]

Увы, нужны максимально точные расчеты.

[provincialka]

Ну, так не отбрасывайте ничего. Вообще не поняла, в чем проблема? Формула куба суммы вроде не изменилась. $(1+p)^3-1=3p+3p^2+p^3=(30n+3n^2+n^3/10)\%$

[kthxbye]

Действительно. Я пытался найти какое-нибудь иное оригинальное решение.

А что по поводу ряда $1,4,10,20,35,56$? Существует для него формула?

[gris]

Последовательность можно трактовать, как последовательность биномиальных коэффициентов вида $C^3_k$. Можно сказать, что это количество способов выбрать тройку элементов из $k$ различных. Ну а после этого можно и написать в виде формулы:

$C^3_k=\dfrac {k(k-1)(k-2)}{6}$

Или, применительно к Вашей последовательности $a_k=\dfrac {k(k+1)(k+2)}{6}$

[Lukum]

попробуйте это $n*(n+1)*(n+2)$

-- 12.02.2014, 18:19 --

$C_{n+2}^{3}$