Координаты вектора в новом базисе

[MestnyBomzh]

Дан вектор:

$$V_e=\begin{bmatrix} 1\\ 3\\ -1 \end{bmatrix}$$

, базис

$$e=(\begin{bmatrix} 8\\ 5\\ 4 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 6\\ -6\\ 9 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -5\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$$

,базис

$$e''=(\begin{bmatrix} 14\\ -17\\ -24 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 13\\ -18\\ -26 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -35\\ -16\\ -12 \end{bmatrix})$$

. Найти координаты вектора $V$ в базисе $e''$, используя матрицу перехода

$$T_{e\rightarrow e''}=\begin{bmatrix} -1 & 0& -2\\ 2& 3& 1\\ -2& 1& 5 \end{bmatrix}$$

Если идти длинным путем (выражая вектор $V_e$ сначала через базис ${(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}$, потом уже переводя в $e''$ путем решения слау), то получаем такой результат:

$$\begin{bmatrix} \frac{4}{5}\\ \frac{8}{5}\\ -1 \end{bmatrix}$$

Но как бы я не умножал на матрицу перехода (и обратную к ней) вектор $V_e$ всегда получаются другие рез-ты. Подскажите, как тут действовать?

[mihailm]

Подозрительная матрица перехода, найдите ее сами

[MestnyBomzh]

Так я её сам и искал) Я ошибочно переписал, правильно вот так:

$$e=(\begin{bmatrix} 8\\ 5\\ 4 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 6\\ -6\\ -9 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -5\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$$

[mihailm]

MestnyBomzh в сообщении #825242 писал(а):

...Если идти длинным путем (выражая вектор $V_e$ сначала через базис ${(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}$, потом уже переводя в ...

Тут два способа и ни один из них с этим не совпадает)
Для понимания выразите вектор через новый базис (прямо берем и выражаем)

[svv]

Здесь действовать можно как угодно, при условии, что Вы действуете правильно.

Матрицы перехода буду писать без стрелочки.
Матрица перехода $T_{ab}$ от базиса $a$ к базису $b$ — это координаты базисных векторов $b$ в базисе $a$ ($k$-му вектору базиса $b$ соответствует $k$-й столбец матрицы).

Обозначим «наш» базис $\langle (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \rangle$ через $a$.
Тогда матрица $\begin{bmatrix}8&6&-5\\5&-6&0\\4&-9&1\end{bmatrix}$ — это $T_{ae}$. Ведь здесь по столбцам записаны координаты базисных векторов $e$ в базисе $a$.
Аналогично, матрица $\begin{bmatrix}14&13&-35\\-17&-18&-16\\-24&-26&-12\end{bmatrix}$ — это $T_{ae''}$ .

Основное правило работы с матрицами перехода: $T_{ac}=T_{ab}T_{bc}$.
Следствия: $T_{aa}=E,\quad T_{ba}=T_{ab}^{-1}$.
Правило преобразования координат вектора: $V_a=T_{ab}V_b$.

Теперь мы всесильны. Мы можем найти $V_{e''}$ так:
$V_{e''}=T_{e''e}V_e$
(обратите внимание, что Вы нашли «не ту» матрицу перехода, здесь требуется обратная к ней).
А можем пойти длинным путем:
$V_a=T_{ae}V_e$, затем $V_{e''}=T_{e''a}V_a$
Разумеется, получится то же самое, потому что
$T_{e''a}V_a=T_{e''a}T_{ae}V_e=T_{e''e}V_e=V_{e''}$

Решение подобных задач сначала желательно записывать в виде вот таких кратких формул, и только в конце подставлять реальные значения. Так яснее видно кратчайший путь.

[MestnyBomzh]

svv в сообщении #825323 писал(а):

Теперь мы всесильны. Мы можем найти $V_{e''}$ так:
$V_{e''}=T_{e''e}V_e$
(обратите внимание, что Вы нашли «не ту» матрицу перехода, здесь требуется обратная к ней).

Если так, то получается

$$\begin{bmatrix} \frac{-1}{15}\\ \\ \frac{6}{5}\\ \\ \frac{-7}{15} \end{bmatrix}$$

(нашел обратную матрицу и умножил на $V_e$ слева)
А вообще, почему не так: $V_e*T_{ee''}=V_{e''}$? Например, базис $e''$ я искал именно так

[svv]

MestnyBomzh в сообщении #825384 писал(а):

А вообще, почему не так: $V_e*T_{ee''}=V_{e''}$? Например, базис $e''$ я искал именно так

При поиске базисных векторов $e''$ Вы помещали базисные векторы $e$ слева от матрицы перехода. При пересчете координат вектора $V$ его надо помещать справа от матрицы перехода. А какая разница, разве это не одно и то же действие? Разница есть, она, например, в том, что в первом случае мы находим координаты других базисных векторов $e''_i$ в том же базисе $a$, а во втором — координаты того же вектора $v$ в другом базисе $e$.