2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Координаты вектора в новом базисе
Сообщение11.02.2014, 12:49 
Аватара пользователя
Дан вектор: $$V_e=\begin{bmatrix}
1\\ 
3\\ 
-1
\end{bmatrix}$$, базис $$e=(\begin{bmatrix}
8\\ 
5\\ 
4
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
6\\ 
-6\\ 
9
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
-5\\ 
0\\ 
1
\end{bmatrix}$$,базис $$e''=(\begin{bmatrix}
14\\ 
-17\\ 
-24
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
13\\ 
-18\\ 
-26
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
-35\\ 
-16\\ 
-12
\end{bmatrix})$$. Найти координаты вектора $V$ в базисе $e''$, используя матрицу перехода $$T_{e\rightarrow e''}=\begin{bmatrix}
-1 &  0& -2\\ 
 2&  3& 1\\ 
 -2&  1& 5
\end{bmatrix}$$
Если идти длинным путем (выражая вектор $V_e$ сначала через базис ${(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}$, потом уже переводя в $e''$ путем решения слау), то получаем такой результат: $$\begin{bmatrix}
\frac{4}{5}\\ 
\frac{8}{5}\\ 
-1
\end{bmatrix}$$ Но как бы я не умножал на матрицу перехода (и обратную к ней) вектор $V_e$ всегда получаются другие рез-ты. Подскажите, как тут действовать?

 
 
 
 Re: Координаты вектора в новом базисе
Сообщение11.02.2014, 12:57 
Подозрительная матрица перехода, найдите ее сами

 
 
 
 Re: Координаты вектора в новом базисе
Сообщение11.02.2014, 13:10 
Аватара пользователя
Так я её сам и искал) Я ошибочно переписал, правильно вот так:$$e=(\begin{bmatrix}
8\\ 
5\\ 
4
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
6\\ 
-6\\ 
-9
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
-5\\ 
0\\ 
1
\end{bmatrix}$$

 
 
 
 Re: Координаты вектора в новом базисе
Сообщение11.02.2014, 17:24 
MestnyBomzh в сообщении #825242 писал(а):
...Если идти длинным путем (выражая вектор $V_e$ сначала через базис ${(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}$, потом уже переводя в ...

Тут два способа и ни один из них с этим не совпадает)
Для понимания выразите вектор через новый базис (прямо берем и выражаем)

 
 
 
 Re: Координаты вектора в новом базисе
Сообщение11.02.2014, 17:24 
Аватара пользователя
Здесь действовать можно как угодно, при условии, что Вы действуете правильно. :-)

Матрицы перехода буду писать без стрелочки.
Матрица перехода $T_{ab}$ от базиса $a$ к базису $b$ — это координаты базисных векторов $b$ в базисе $a$ ($k$-му вектору базиса $b$ соответствует $k$-й столбец матрицы).

Обозначим «наш» базис $\langle (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \rangle$ через $a$.
Тогда матрица $\begin{bmatrix}8&6&-5\\5&-6&0\\4&-9&1\end{bmatrix}$ — это $T_{ae}$. Ведь здесь по столбцам записаны координаты базисных векторов $e$ в базисе $a$.
Аналогично, матрица $\begin{bmatrix}14&13&-35\\-17&-18&-16\\-24&-26&-12\end{bmatrix}$ — это $T_{ae''}$ .

Основное правило работы с матрицами перехода: $T_{ac}=T_{ab}T_{bc}$.
Следствия: $T_{aa}=E,\quad T_{ba}=T_{ab}^{-1}$.
Правило преобразования координат вектора: $V_a=T_{ab}V_b$.

Теперь мы всесильны. Мы можем найти $V_{e''}$ так:
$V_{e''}=T_{e''e}V_e$
(обратите внимание, что Вы нашли «не ту» матрицу перехода, здесь требуется обратная к ней).
А можем пойти длинным путем:
$V_a=T_{ae}V_e$, затем $V_{e''}=T_{e''a}V_a$
Разумеется, получится то же самое, потому что
$T_{e''a}V_a=T_{e''a}T_{ae}V_e=T_{e''e}V_e=V_{e''}$

Решение подобных задач сначала желательно записывать в виде вот таких кратких формул, и только в конце подставлять реальные значения. Так яснее видно кратчайший путь.

 
 
 
 Re: Координаты вектора в новом базисе
Сообщение11.02.2014, 21:32 
Аватара пользователя
svv в сообщении #825323 писал(а):
Теперь мы всесильны. Мы можем найти $V_{e''}$ так:
$V_{e''}=T_{e''e}V_e$
(обратите внимание, что Вы нашли «не ту» матрицу перехода, здесь требуется обратная к ней).

Если так, то получается $$\begin{bmatrix}
\frac{-1}{15}\\ 
\\
\frac{6}{5}\\ 
\\
\frac{-7}{15}
\end{bmatrix}$$(нашел обратную матрицу и умножил на $V_e$ слева)
А вообще, почему не так: $V_e*T_{ee''}=V_{e''}$? Например, базис $e''$ я искал именно так

 
 
 
 Re: Координаты вектора в новом базисе
Сообщение12.02.2014, 02:12 
Аватара пользователя
MestnyBomzh в сообщении #825384 писал(а):
А вообще, почему не так: $V_e*T_{ee''}=V_{e''}$? Например, базис $e''$ я искал именно так
При поиске базисных векторов $e''$ Вы помещали базисные векторы $e$ слева от матрицы перехода. При пересчете координат вектора $V$ его надо помещать справа от матрицы перехода. А какая разница, разве это не одно и то же действие? Разница есть, она, например, в том, что в первом случае мы находим координаты других базисных векторов $e''_i$ в том же базисе $a$, а во втором — координаты того же вектора $v$ в другом базисе $e$.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group