Давайте разбираться с функциями. (То, что я пишу, немного отличается от Верещагина-Шеня, я определяю функции с областью определения

)
Неформально, функция

- это правило, которое каждому элементу

мы ставим в соотвестствие ровно один элемент

. Для того, чтобы формализовать это определение в теории множеств, мы определяем функцию как множество пар: если функция

сопоставляет элементу

элемент

, то пара

будет принадлежать нашей функции.
То есть:

значит, что

- это множество пар, то есть

, и для каждого элемента

в этом множестве есть единственная пара, связывающая его с каким-то

. Итак, по определению


Но это определение нужно нам только для формального обоснования, а интуитивно функция - это когда для каждого

есть ровно один "свой"

, который мы обозначаем

. При этом ничего не сказано про то, что у разных иксов должны быть разные игреки. Также ничего не говорится про то, что игреки должны встречаться, это требуется только от иксов. То есть, например,

- это корректная функция

.
Соответственно,

--- это множество всех функций

, т.е.

. Например,
![$$\{0, 1\}^{\{2,3\}} = \{ {\color[rgb]{0.5,0,0}\{\left<2, 0\right>, \left<3, 0\right>\}}, {\color[rgb]{0,0.5,0}\{\left<2, 0\right>, \left<3, 1\right>\}}, {\color[rgb]{0,0,0.5}\{\left<2, 1\right>, \left<3, 0\right>\}}, {\color[rgb]{0,0.5,0.5}\{\left<2, 1\right>, \left<3, 1\right>\}}\}$$ $$\{0, 1\}^{\{2,3\}} = \{ {\color[rgb]{0.5,0,0}\{\left<2, 0\right>, \left<3, 0\right>\}}, {\color[rgb]{0,0.5,0}\{\left<2, 0\right>, \left<3, 1\right>\}}, {\color[rgb]{0,0,0.5}\{\left<2, 1\right>, \left<3, 0\right>\}}, {\color[rgb]{0,0.5,0.5}\{\left<2, 1\right>, \left<3, 1\right>\}}\}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/0/1002847c2ee084a91e3c964bf23c2dd882.png)
Писать функции в виде множеств не очень удобно, поэтому обычно их задают другим способом. Я в предыдущем посте приводил табличное задание дискретной функции. В виде множества таблица

будет записана как

. Здесь

- это какие-то элементы, не обязательно различные.