2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два конденсатора без батарейки ;)
Сообщение10.02.2014, 17:50 
Аватара пользователя


28/01/14
353
Москва
Поскольку моя предыдущая задача с батарейкой и двумя конденсаторами вызвала нарекания уважаемой публики на то, что я не привел своего решения, которое можно было бы обсудить, а также на якобы физическую нереализуемость условия, предлагаю подумать над модернизированной задачей, где я приведу свое решение, даже два...

Итак, пусть у нас есть два конденсатора С1 и С2, причем С1 заряжен до напряжения $U_0$, а С2 разряжен. Попробуем зарядить С2 от С1 через резистор R (см. рисунок). Вопрос - какие напряжения установятся на конденсаторах?

Изображение


1. Решение 1 (школьное)

(Оффтоп)

Понятно, что установившееся напряжение на обоих конденсаторах должно быть одинаковым, так как в установившемся режиме тока в цепи не будет и падения напряжения на резисторе тоже. Понятно также, что через ЗСЭ решить не получится, т.к. на резисторе выделится какое-то (заранее неизвестное) тепло. Можно попробовать воспользоваться ЗСЗ. Первоначальный заряд на верхней обкладке С1 был $Q_0=C_1U_0$. После перераспределения заряда на первом конденсаторе останется $Q_1$, на втором накопится $Q_2$, причем в сумме заряд должен остаться равным $Q_0$. Отсюда получаем следующую систему:
$$\left\{\begin{matrix}
Q_0=Q_1+Q_2\\ U_1=U_2=U'
\end{matrix}\right.$$
Т.о. $$C_1U_0=C_1U'+C_2U'$$откуда $$U'=\frac{C_1}{C_1+C_2}U_0$$
Проверим выполнение ЗСЭ.
Первоначально мы имели $E_0=\frac{C_1U_0^2}{2}$.
После перезаряда $E'=C_1U'^2/2+C_2U'^2/2=\frac{C_1^2U_0^2}{2(C_1+C_2)}$.
Т.о. $E'/E_0=C_1/(C_1+C_2)$ и, соответственно, $E_R/E_0=C_2/(C_1+C_2)$.
Заметим, что доля потерянной энергии не зависит от сопротивления, даже если оно стремится к нулю.


2. Решение 2 (переходный процесс)


(Оффтоп)

Рассмотрим теперь процесс перезаряда подробнее. Пусть $u_1$, $u_2$, $u_R$ - мгновенные напряжения на элементах. По 2-му закону (или правилу, как его теперь называют) Кирхгофа имеем
$$u_1=u_R+u_2$$
Обозначим через $q$ заряд, утекающий с верхней обкладки С1 (и попадающий на верхнюю обкладку С2 через резистор R). Тогда можно записать
$$u_1=\frac{Q_0-q}{C_1}$$
$$u_2=\frac{q}{C_2}$$
$$u_R=iR=R\frac{dq}{dt}$$
и мы получаем дифуравнение для заряда $q$
$$\frac{Q_0-q}{C_1}=R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C_2}$$
или
$$\frac{dq}{dt}+\frac{1}{\tau_{12}}q=\frac{Q_0}{\tau_2}$$ где $\tau_{12}=R(C_1+C_2)$; $\tau_{2}=RC_2$.
Т.о. мы получили неоднородное линейное дифуравнение 1-го порядка, решение которого, как известно, - сумма общего решения однородного и частного решения неоднородного.
В однородном уравнении $\frac{dq}{dt}+\frac{1}{\tau_{12}}q=0$ переменные разделяются и легко получить общее решение
$$q'=\mathbb{C}e^{-\frac{t}{\tau_{12}}}$$ где $\mathbb{C}$ - константа начальных условий.
Частное решение: $$q''=\frac{\tau_{12}}{\tau_{2}}Q_0$$ (убеждаемся непосредственной подстановкой).
Т.о. для заряда получаем
$$q=q'+q''=\mathbb{C}e^{-\frac{t}{\tau_{12}}}+\frac{\tau_{12}}{\tau_{2}}Q_0$$
Поскольку в начале процесса на обкладке C1 был заряд $Q_0$, то при $t=0$ $q=0$ и, следовательно, $\mathbb{C}=-\frac{\tau_{12}}{\tau_{2}}Q_0$.
Т.о. окончательно
$$q=\frac{\tau_{12}}{\tau_{2}}Q_0(1-e^{-\frac{t}{\tau_{12}}})=\frac{C_1+C_2}{C_2}Q_0(1-e^{-\frac{t}{\tau_{12}}})$$
Отсюда
$$u_1=\frac{Q_0-q}{C_1}=U_0\left (\frac{C_1+C_2}{C_2}e^{-\frac{t}{R(C_1+C_2)}}-\frac{C_1}{C_2}  \right )$$
$$u_2=\frac{q}{C_2}=U_0\frac{C_1}{C_2}\frac{C_1+C_2}{C_2}\left (1-e^{-\frac{t}{R(C_1+C_2)}}  \right )$$
Таким образом при $t\rightarrow \infty $ $$u_1\rightarrow -\frac{C_1}{C_2}U_0$$ и $$u_2\rightarrow \frac{C_1}{C_2}\frac{C_1+C_2}{C_2}U_0$$
что, конечно, является полной ерундой.


Внимание, вопрос! :wink:
Почему решение через дифур приводит к неверному результату?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два конденсатора без батарейки ;)
Сообщение10.02.2014, 17:58 
Заслуженный участник


28/12/12
7922
OlegCh в сообщении #824939 писал(а):
Почему решение через дифур приводит к неверному результату?
Вы, когда дифур переписывали, ошиблись. Времена $\tau_{2}, \tau_{12}$ будут не такими (а именно, $\tau_2=RC_1, \tau_{12}=RC_1C_2/(C_1+C_2)$. Ну а получить из первой неправильной формулы последующие неправильные уже просто (как замечал, кажется, Фейнман).

 Профиль  
                  
 
 Re: Два конденсатора без батарейки ;)
Сообщение10.02.2014, 18:18 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
OlegCh, эту задачу совсем недавно решали topic80623.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Два конденсатора без батарейки ;)
Сообщение10.02.2014, 19:19 
Аватара пользователя


28/01/14
353
Москва
DimaM в сообщении #824943 писал(а):
Вы, когда дифур переписывали, ошиблись. Времена $\tau_{2}, \tau_{12}$ будут не такими

Да вроде бы, нет, не ошибся...
profrotter в сообщении #824953 писал(а):
эту задачу совсем недавно решали topic80623.html

Я видел ту тему. Похоже, но немножко не то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два конденсатора без батарейки ;)
Сообщение10.02.2014, 19:54 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
OlegCh в сообщении #824971 писал(а):
Да вроде бы, нет, не ошибся...
Ещё раз ошиблись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два конденсатора без батарейки ;)
Сообщение10.02.2014, 21:47 
Аватара пользователя


28/01/14
353
Москва
venco в сообщении #824992 писал(а):
Ещё раз ошиблись.
А, да, кажется ступил...
(две дроби сложить не смог! ааа.... позорище :D )

 Профиль  
                  
 
 Re: Два конденсатора без батарейки ;)
Сообщение11.02.2014, 09:08 
Аватара пользователя


28/01/14
353
Москва
DimaM в сообщении #824943 писал(а):
Времена $\tau_{1}, \tau_{12}$ будут не такими (а именно, $\tau_1=RC_1, \tau_{12}=RC_1C_2/(C_1+C_2)$.

Вы правы, спасибо! Всегда дело оказывается в какой-нибудь ерунде... :facepalm:
Теперь все верно: $$u_{1}=U_{0}\left ( \frac{C_1}{C_1+C_2}+\frac{C_2}{C_1+C_2}e^{-\frac{t}{\tau _{12}}} \right )$$
$$u_{2}=U_{0}\left ( \frac{C_1}{C_1+C_2}-\frac{C_1}{C_1+C_2}e^{-\frac{t}{\tau _{12}}} \right )$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два конденсатора без батарейки ;)
Сообщение14.02.2014, 14:07 


25/05/10
26
Самое удивительное в этой задаче - это то, что ТС решил, что решение через дифур дает неверный ответ. :D
(он не стал искать ошибку в своих расчетах, а создал тему).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group