Два конденсатора без батарейки ;)

[OlegCh]

Поскольку моя предыдущая задача с батарейкой и двумя конденсаторами вызвала нарекания уважаемой публики на то, что я не привел своего решения, которое можно было бы обсудить, а также на якобы физическую нереализуемость условия, предлагаю подумать над модернизированной задачей, где я приведу свое решение, даже два...

Итак, пусть у нас есть два конденсатора С1 и С2, причем С1 заряжен до напряжения $U_0$, а С2 разряжен. Попробуем зарядить С2 от С1 через резистор R (см. рисунок). Вопрос - какие напряжения установятся на конденсаторах?




1. Решение 1 (школьное)

(Оффтоп)

Понятно, что установившееся напряжение на обоих конденсаторах должно быть одинаковым, так как в установившемся режиме тока в цепи не будет и падения напряжения на резисторе тоже. Понятно также, что через ЗСЭ решить не получится, т.к. на резисторе выделится какое-то (заранее неизвестное) тепло. Можно попробовать воспользоваться ЗСЗ. Первоначальный заряд на верхней обкладке С1 был $Q_0=C_1U_0$. После перераспределения заряда на первом конденсаторе останется $Q_1$, на втором накопится $Q_2$, причем в сумме заряд должен остаться равным $Q_0$. Отсюда получаем следующую систему:

$$\left\{\begin{matrix} Q_0=Q_1+Q_2\\ U_1=U_2=U' \end{matrix}\right.$$

Т.о.

$$C_1U_0=C_1U'+C_2U'$$

откуда

$$U'=\frac{C_1}{C_1+C_2}U_0$$

Проверим выполнение ЗСЭ.
Первоначально мы имели $E_0=\frac{C_1U_0^2}{2}$.
После перезаряда $E'=C_1U'^2/2+C_2U'^2/2=\frac{C_1^2U_0^2}{2(C_1+C_2)}$.
Т.о. $E'/E_0=C_1/(C_1+C_2)$ и, соответственно, $E_R/E_0=C_2/(C_1+C_2)$.
Заметим, что доля потерянной энергии не зависит от сопротивления, даже если оно стремится к нулю.

2. Решение 2 (переходный процесс)

(Оффтоп)

Рассмотрим теперь процесс перезаряда подробнее. Пусть $u_1$, $u_2$, $u_R$ - мгновенные напряжения на элементах. По 2-му закону (или правилу, как его теперь называют) Кирхгофа имеем

$$u_1=u_R+u_2$$

Обозначим через $q$ заряд, утекающий с верхней обкладки С1 (и попадающий на верхнюю обкладку С2 через резистор R). Тогда можно записать

$$u_1=\frac{Q_0-q}{C_1}$$

$$u_2=\frac{q}{C_2}$$

$$u_R=iR=R\frac{dq}{dt}$$

и мы получаем дифуравнение для заряда $q$

$$\frac{Q_0-q}{C_1}=R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C_2}$$

или

$$\frac{dq}{dt}+\frac{1}{\tau_{12}}q=\frac{Q_0}{\tau_2}$$

где $\tau_{12}=R(C_1+C_2)$; $\tau_{2}=RC_2$.
Т.о. мы получили неоднородное линейное дифуравнение 1-го порядка, решение которого, как известно, - сумма общего решения однородного и частного решения неоднородного.
В однородном уравнении $\frac{dq}{dt}+\frac{1}{\tau_{12}}q=0$ переменные разделяются и легко получить общее решение

$$q'=\mathbb{C}e^{-\frac{t}{\tau_{12}}}$$

где $\mathbb{C}$ - константа начальных условий.
Частное решение:

$$q''=\frac{\tau_{12}}{\tau_{2}}Q_0$$

(убеждаемся непосредственной подстановкой).
Т.о. для заряда получаем

$$q=q'+q''=\mathbb{C}e^{-\frac{t}{\tau_{12}}}+\frac{\tau_{12}}{\tau_{2}}Q_0$$

Поскольку в начале процесса на обкладке C1 был заряд $Q_0$, то при $t=0$ $q=0$ и, следовательно, $\mathbb{C}=-\frac{\tau_{12}}{\tau_{2}}Q_0$.
Т.о. окончательно

$$q=\frac{\tau_{12}}{\tau_{2}}Q_0(1-e^{-\frac{t}{\tau_{12}}})=\frac{C_1+C_2}{C_2}Q_0(1-e^{-\frac{t}{\tau_{12}}})$$

Отсюда

$$u_1=\frac{Q_0-q}{C_1}=U_0\left (\frac{C_1+C_2}{C_2}e^{-\frac{t}{R(C_1+C_2)}}-\frac{C_1}{C_2} \right )$$

$$u_2=\frac{q}{C_2}=U_0\frac{C_1}{C_2}\frac{C_1+C_2}{C_2}\left (1-e^{-\frac{t}{R(C_1+C_2)}} \right )$$

Таким образом при $t\rightarrow \infty $

$$u_1\rightarrow -\frac{C_1}{C_2}U_0$$

и

$$u_2\rightarrow \frac{C_1}{C_2}\frac{C_1+C_2}{C_2}U_0$$

что, конечно, является полной ерундой.

Внимание, вопрос!
Почему решение через дифур приводит к неверному результату?

[DimaM]

OlegCh в сообщении #824939 писал(а):

Почему решение через дифур приводит к неверному результату?

Вы, когда дифур переписывали, ошиблись. Времена $\tau_{2}, \tau_{12}$ будут не такими (а именно, $\tau_2=RC_1, \tau_{12}=RC_1C_2/(C_1+C_2)$. Ну а получить из первой неправильной формулы последующие неправильные уже просто (как замечал, кажется, Фейнман).

[profrotter]

OlegCh, эту задачу совсем недавно решали topic80623.html

[OlegCh]

DimaM в сообщении #824943 писал(а):

Вы, когда дифур переписывали, ошиблись. Времена $\tau_{2}, \tau_{12}$ будут не такими

Да вроде бы, нет, не ошибся...

profrotter в сообщении #824953 писал(а):

эту задачу совсем недавно решали topic80623.html

Я видел ту тему. Похоже, но немножко не то.

[venco]

OlegCh в сообщении #824971 писал(а):

Да вроде бы, нет, не ошибся...

Ещё раз ошиблись.

[OlegCh]

venco в сообщении #824992 писал(а):

Ещё раз ошиблись.

А, да, кажется ступил...
(две дроби сложить не смог! ааа.... позорище )

[OlegCh]

DimaM в сообщении #824943 писал(а):

Времена $\tau_{1}, \tau_{12}$ будут не такими (а именно, $\tau_1=RC_1, \tau_{12}=RC_1C_2/(C_1+C_2)$.

Вы правы, спасибо! Всегда дело оказывается в какой-нибудь ерунде...
Теперь все верно:

$$u_{1}=U_{0}\left ( \frac{C_1}{C_1+C_2}+\frac{C_2}{C_1+C_2}e^{-\frac{t}{\tau _{12}}} \right )$$

$$u_{2}=U_{0}\left ( \frac{C_1}{C_1+C_2}-\frac{C_1}{C_1+C_2}e^{-\frac{t}{\tau _{12}}} \right )$$

[zels]

Самое удивительное в этой задаче - это то, что ТС решил, что решение через дифур дает неверный ответ.
(он не стал искать ошибку в своих расчетах, а создал тему).