Метрика специальной теории относительности

[aklimets]

Пространственно-временная метрика, найденная Шварцшильдом при решении уравнений Эйнштейна, имеет вид

$$dS^2=\left (1-\frac{r_g}{r}\right )c^2dt^2-r^2(sin^2\theta d\varphi^2+d\theta^2)-\frac{dr^2}{1-r_g/r}\,\,\,\,\,(1)$$

В плоском пространстве-времени метрика $(1)$ имела бы вид (когда $r_g/r=0$)

$$dS^2=c^2dt^2-r^2(sin^2\theta d\varphi^2+d\theta^2)-dr^2\,\,\,\,\,(2)$$

Но в силу соотношения неопределенностей на планковском масштабе $\Delta r_g\Delta r\ge\ell^2_P$ (которое является просто другой формой соотношения неопределенностей Гейзенберга между импульсом и координатой применительно к планковскому масштабу), отношение $r_g/r=\ell^2_P/\Delta r^2\not= 0$, где ${\ell_P}$ - планковская длина. Поэтому его нельзя игнорировать. Даже в плоском пространстве-времени метрика $(2)$ должна иметь вид

$$dS^2=\left (1-\frac{\ell^2_P}{\Delta r^2}\right )c^2dt^2-r^2(sin^2\theta d\varphi^2+d\theta^2)-\frac{dr^2}{1-\ell^2_P/\Delta r^2}\,\,\,\,\,(3)$$

(метрика $(3)$ просто отображает тот факт, что на планковском масштабе существуют виртуальные черные дыры).

Расстояние между двумя близкими событиями записываются в виде

$$dS^2=g_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}$$

В инерциальных системах отсчета с декартовыми координатами метрический тензор имеет вид

$$g_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right)$$

Однако на самом деле, как мы видим, диагональные элементы в матрице $ g_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}\left\{1,-1,-1,-1\right\}$ не равны $1$.
Вся физика в основном пользуется метрикой специальной теории относительности в декартовых координатах. Как же в декартовых координатах отобразить то, что в сферических координатах коэффициент $g_{00}=1-\ell^2_P/\Delta r^2$, но не равен 1?

Естественно, на атомном уровне отношение $\ell^2_P/\Delta r^2\approx 0$, поэтому $g_{00}\approx 1$, но это не отменяет того, что его не нужно учитывать в теории.

[VladimirKalitvianski]

Скажите, а простое соотношение неопределенности не влезет в выражение для $ds$, если "учесть" простую квантовую механику?

[Munin]

aklimets в сообщении #824827 писал(а):

Но в силу соотношения неопределенностей

Соотношение неопределённостей не входит в состав специальной теории относительности.

[aklimets]

Речь идет о том, что метрика специальной теории относительности не является точной и диагональные компоненты метрического тензора

$$ g_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}\left\{1,-1,-1,-1\right\}$$

на планковском масштабе будут отличны от $1$ даже в отсутствие всякого внешнего гравитационного поля (только за счет флуктуаций $\ell^2_P/(\Delta r)^2$)
Эти флуктуации очень малы, но есть. Пока что ни в какой теории это не учитывается.

[VladimirKalitvianski]

В специальной теории относительности нет флуктуаций и нет планковских масштатбов.

[aklimets]

VladimirKalitvianski в сообщении #824863 писал(а):

В специальной теории относительности нет флуктуаций и нет планковских масштатбов.

В отсутствие гравитационного поля используется метрика специальной теории относительности, но чем ближе к планковскому масштабу, тем флуктуации будут заметнее.
В одной из книг по квантовой теории поля есть такая фраза: "Устранение расходимостей при помощи перенормировки масс и зарядов является некоторой удачной полумерой, которая вседа вызывала у физиков определенное чувство неудовлетворенности. Возникновение расходимостей, по всей вероятности, обусловлено использованием в современной теории поля метрики специальной теории относительности, что связано с пренебрежением в теории поля гравитационными эффектами. Последнее обстоятельство приводит к существенному пороку теории: к неприменимости ее для очень малых областей пространства и расходимости при больших импульсах. Вполне возможно, что квантовую теорию поля следует строить на базе общей теории относительности, т.е. на базе общековариантного формализма." (А.И.Кушниренко. Введение в квантовую теорию поля. М.,Высшая школа,1983, с.7).
Здесь как раз этот случай. Привлекается общая теория относительности, показывается ограниченность метрики специальной теории относительности.

[VladimirKalitvianski]

aklimets в сообщении #824886 писал(а):

Возникновение расходимостей, по всей вероятности, обусловлено использованием в современной теории поля метрики специальной теории относительности, что связано с пренебрежением в теории поля гравитационными эффектами. Последнее обстоятельство приводит к существенному пороку теории: к неприменимости ее для очень малых областей пространства и расходимости при больших импульсах.

Расходимость связана с действием электрона на самого себя и имеет место и в нерелятивистской электростатике. Метрика здесь не при чем. Нет самодействия, нет и расходимости. Самодействие выбрасывается при помощи перенормировок, что указывает на порочность идеи самодействия, а не метрики СТО.

Не нравится метрика СТО, используйте другую, более Вам подходящую, но Кушниренко не правильно определил источник трудностей - в ОТО всё еще хуже.

[aklimets]

VladimirKalitvianski в сообщении #824889 писал(а):

Не нравится метрика СТО, используйте другую, более Вам подходящую, но Кушниренко не правильно определил источник трудностей - в ОТО всё еще хуже.

Вообще-то мне больше добавить нечего. Я высказал свое мнение.

[VladimirKalitvianski]

aklimets в сообщении #824895 писал(а):

Вообще-то мне больше добавить нечего.

А про простую квантовую механику Вы не ответили, про виртуальные пары, а то ведь они существенны на гораздо больших расстояниях, чем планковские.

[aklimets]

VladimirKalitvianski в сообщении #824897 писал(а):

А про простую квантовую механику Вы не ответили, про виртуальные пары, а то ведь они существенны на гораздо больших расстояниях, чем планковские.

Я привел соотношение неопределенностей в виде $\Delta r_g\Delta r\ge\ell^2_P$. Сократим в этом соотношении справа и слева одинаковые коэффициенты. Придем к знакомому соотношению неопределенностей Гейзенберга $\Delta (mc U_0)\Delta r\ge\hbar/2$, где $U_0$ - нулевая компонента 4-скорости, равная 1, остальные компоненты скорости для центрально-симмметричного поля равны нулю.
Виртуальные частицы и виртуальные черные дыры - это две большие разницы, я считаю. На планковском масштабе любая элементарная частица сколлапсирует в черную дыру и "прощупывать" пространственно-временной масштаб уже будет нечем. Черные дыры для этого вряд ли подойдут.

[VladimirKalitvianski]

aklimets в сообщении #824906 писал(а):

Виртуальные частицы и виртуальные черные дыры - это две большие разницы, я считаю.

Почему? И те и другие дают флуктуации расстояний, делающие бессмысленным измерение.

[aklimets]

VladimirKalitvianski в сообщении #824909 писал(а):

Почему? И те и другие дают флуктуации расстояний, делающие бессмысленным измерение.

Думаю, если сгенерировать реальный фотон с длиной волны, близкой к планковской, то никакие флуктуации частиц не помешают ему "прощупать" масштаб, близкий к планковскому. Но как только длина волны фотона станет равна планковской длине, он сколлапсирует в черную дыру. На этом инструменты для ислледования микромира закончились.

[VladimirKalitvianski]

aklimets в сообщении #824917 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #824909 писал(а):

Почему? И те и другие дают флуктуации расстояний, делающие бессмысленным измерение.

Думаю, если сгенерировать реальный фотон с длиной волны, близкой к планковской, то никакие флуктуации частиц не помешают ему "прощупать" масштаб, близкий к планковскому. Но как только длина волны фотона станет равна планковской длине, он сколлапсирует в черную дыру. На этом инструменты для исследования микромира закончились.

Но тогда получается, что никакая реальная частица не может иметь длины волны, меньше планковской, что не так.

Замечу, что понятие Де Бройлевской длины волны никто не отменял и паровоз имеет Де Бройлевскую длины волны гораздо меньше планковской. Длина волны длина волнового пакета - разные вещи.

А квантовые флуктуации длины есть на всех масштабах, и на макроскопических тоже.

[Munin]

aklimets в сообщении #824859 писал(а):

Речь идет о том, что метрика специальной теории относительности не является точной

В рамках этой теории - является. Об остальном поговорим, когда вы другую теорию предоставите. И называть это будем не "метрика специальной теории относительности", а "метрика теории aklimets".

[VladTK]

aklimets в сообщении #824917 писал(а):

...Но как только длина волны фотона станет равна планковской длине, он сколлапсирует в черную дыру...

А откуда Вы это взяли? Может такой фотон как сколлапсирует так и расколлапсирует?