Метрика специальной теории относительности

[VladTK]

aklimets в сообщении #825490 писал(а):

...Аналогичным образом даже не имея полноценной квантовой теории гравитации мы можем, используя классические выражения общей теории относительности и соотношение неопределенностей Гейзенберга, выполнять подобные оценки. Что и было сделано несколькими постами выше. Думаю, что они найдут свое обоснование и в строгой квантовой теории гравитации.

А если не найдут? Примеры хороши, но весь вопрос в том являются ли они какими-либо аналогами ситуации в квантовой гравитации?

aklimets в сообщении #825792 писал(а):

...А вот вопрос по флуктуации метрики на планковском масштабе остается, причем, как я и отметил, эти флуктуации определяются не планковской длиной, а ее квадратом, то есть в метрическом коэффициенте $g_{00} =1-\ell^2_P/(\Delta r)^2$ есть неустранимая поправка $\ell^2_P/(\Delta r)^2$, даже в отсутствие гравитационных полей. (Эти флуктуации характеризуются тем, что на планковском масштабе постоянно появляются и исчезают виртуальные черные дыры).
Экспериментально обнаружить эту поправку, как видите, сложно. Но в теории нужно учитывать. Тогда, по идее, расходимости должны исчезнуть.

А Вы учитываете, что в наблюдаемые величины (длины и времена) входят не сами компоненты метрики, а квадратные корни из них?

[aklimets]

VladTK в сообщении #825846 писал(а):

aklimets в сообщении #825792
писал(а):
...А вот вопрос по флуктуации метрики на планковском масштабе остается, причем, как я и отметил, эти флуктуации определяются не планковской длиной, а ее квадратом, то есть в метрическом коэффициенте $g_{00} =1-\ell^2_P/(\Delta r)^2$ есть неустранимая поправка $\ell^2_P/(\Delta r)^2$, даже в отсутствие гравитационных полей. (Эти флуктуации характеризуются тем, что на планковском масштабе постоянно появляются и исчезают виртуальные черные дыры).
Экспериментально обнаружить эту поправку, как видите, сложно. Но в теории нужно учитывать. Тогда, по идее, расходимости должны исчезнуть.

А Вы учитываете, что в наблюдаемые величины (длины и времена) входят не сами компоненты метрики, а квадратные корни из них?

Я не знаю, чем руководствовались авторы вышеуказанных экспериментов, когда рассчитывались флуктуции скорости света, но предполагаю, что флуктуации метрики $\Delta g$ брались из соображений, изложенных в учебнике Ч.Мизнера, К.Торна, Дж.Уиллера "Гравитация", М., Мир, т.3, с.455-459, (например, по адресу: http://padabum.com/d.php?id=14728 ). Там утверждается, что существуют квантовые флуктуации геометрии пространства-времени, причем флуктуации метрического тензора $\Delta g$ - порядка

$$\Delta g\sim\frac{\ell_P}{r}$$

где $\ell_P$ - планковская длина, $r$ - размер области пространства-времени.
Но все это выводится по аналогии с флуктуациями электромагнитного поля, один к одному. Думаю, что это неправильно.
Если Вы почитаете статью Т. Редже "Гравитационные поля и квантовая механика", в сб. "Альберт Эйнштейн и теория гравитации",М., Наука, 1979, с.460 ( по адресу:
http://ivanik3.narod.ru/Gruvitas/Kurant ... skij3.djvu , пункт 4, то в ней утверждается, что флуктуации метрического тензора порядка

$$\Delta g\sim\frac{\ell^2_P}{r^2}$$

Вот этой оценкой флуктуаций $\Delta g$ и нужно руководствоваться. Это совпадает и с найденной мной оценкой флуктуаций метрики.

Хочу обратить внимание и на следующее. Если рассмотреть указанное выше уравнение для полной энергии фотона (без учета момента импульса), которое имеет вид

$$E=P\,c\left (1-\frac{r_g}{r}\right )\approx \frac{\hbar\,c}{\lambda}\left (1-\frac{\ell^2_P}{\lambda^2}\right )$$

и записать его в пространствах различной мерности с помощью результатов Эренфеста ($r$ в знаменателе второго слагаемого (или $\lambda$) будет иметь разную степень в зависимости от мерности пространства), то получим следующие графики функций $E(\lambda)$

О чем это говорит? О том, что трехмерное пространство энергетически более выгодно для образования планковских черных дыр (реальных и виртуальных), чем пространства другой мерности.
Считается, что вакуум на планковском масштабе представляет из себя пространственно-временную пену, а по сути - пену из виртуальных черных дыр, и он лежит в основе наблюдаемого мира. Видимо, трехмерность наблюдаемого пространства его энергетической выгодностью и обусловлена.

[aklimets]

aklimets в сообщении #825999 писал(а):

записать его в пространствах различной мерности с помощью результатов Эренфеста

Приведу соображения, которыми руководствовался Эренфест. Его статью можно найти в книге Горелика Г.Е "Размерность пространства", М., Изд-во Московского университета, 1983 г.
Эренфест рассматривает "физику" в $n$ - мерном пространстве $U^n$. При этом закон взаимодействия с точечным центром он выводит (аналогично трехмерному случаю) из дифференциального уравнения Пуассона в $U^n$ для потенциала, определяющего это взаимодействие.
Фундаментальные физические законы взаимодействий задаются в вариационной форме. Лагранжиан для простейшего случая скалярного безмассового поля $\varphi (t,x^1,x^2,\cdots , x^n)$ имеет вид

$$L=\left (\frac{\partial\varphi}{\partial t}\right )^2+\sum\left (\frac{\partial\varphi}{\partial x^k}\right )^2\,\,\,\,\,(1)$$

Этот лагранжиан приводит к уравнению Пуассона и, следовательно, к полю точечного центра $\varphi\sim r^{n-2}$; $\varphi\sim\ln r$ при $n=2$. Размерность пространства учитывается в $(1)$ только в виде условия на множество значений, которые может принимать индекс $k$. В $3+1$ - мерном случае $k=1,2,3$. Таким образом , $(1)$ позволяет получить соответствующую часть физики в пространстве любой размерности. Уравнение Пуассона математически эквивалентно указанному лагранжиану (с естественным обобщением на другие поля).
В сферически симметричном случае в $U^n$ из уравнения Пуассона или из закона Гаусса для напряженности поля следуют выражения для потенциальной энергии (для уравнения Ньютона):

$$E_{pot}=-\frac{G\,M\,m}{(n-2)r^{n-2}};\,\,\,\,n\ge 3\,\,\,\,\,\,(2)$$

$$E_{pot}=G\,M\,m\ln r ;\,\,\,\,n=2\,\,\,\,\,\,(3)$$

$$E_{pot}=G\,M\,m\,r;\,\,\,\,n=1\,\,\,\,\,\,(4)$$

где $M$, $m$ - массы тел, $G$ - константа взаимодействия в $n$- мерном пространстве. С обычной постоянной Ньютона она находится через сшивку потенциалов для 3-мерного пространства и соотвествующего $n$-мерного пространства.
В рассматриваемом мной случае для потенциальной энергии фотона поступаем аналогично. Для 3-мерного пространства она имеет вид (смотри несколькими постами выше) $E_{pot}=-\frac{G\,P^2/c^2}{r}$.
Для $n$ - мерных пространств она имеет вид:

$$E_{pot}=-\frac{G\,P^2/c^2}{(n-2)r^{n-2}};\,\,\,\,n\ge 3\,\,\,\,\,\,(5)$$

$$E_{pot}=G\,P^2/c^2\ln r ;\,\,\,\,n=2\,\,\,\,\,\,(6)$$

$$E_{pot}=G\,P^2/c^2\,r;\,\,\,\,n=1\,\,\,\,\,\,(7)$$

Здесь $r$ необходимо сопоставить с длиной волны фотона $\lambda$.
Полная энергия фотона имеет вид $E=E_{kin}+E_{pot}$, причем $E_{kin}=P\,c$ от размерности пространства не зависит. Чтобы перейти к квантовой теории, необходимо воспользоваться соотношением неопределенностей Гейзенберга $P\lambda\approx\hbar$, т.е. вместо $P$ подставить $\hbar/\lambda$.
Обращаю внимание, что в данном случае величина $\lambda$ должна записыватся без всякой степени, так как она не имеет никакого отношения к центральной симметрии, как в случае $r=\lambda$ в знаменателе для $E_{pot}$.
А теперь, строя графики для полной энергии фотона $E(\lambda)$ в пространствах различной мерности, придем к рисунку постом выше.

[aklimets]

В предыдущем сообщении выражение $P^2/c^2$ в уравнениях $(5)$, $(6)$, $(7)$ нужно, конечно, взять в скобки.
Чтобы проверить соответствие этих уравнений для полной энергии фотона $E(\lambda)$ приведенному рисунку, достаточно положить коэффициенты $G$, $\hbar$ и $c$ равными единице и тогда легко можно построить графики функций $E(\lambda)$ с помощью любой компьютерной программы и сравнить их.

[aklimets]

VladTK в сообщении #825846 писал(а):

klimets в сообщении #825490
писал(а):
...Аналогичным образом даже не имея полноценной квантовой теории гравитации мы можем, используя классические выражения общей теории относительности и соотношение неопределенностей Гейзенберга, выполнять подобные оценки. Что и было сделано несколькими постами выше. Думаю, что они найдут свое обоснование и в строгой квантовой теории гравитации.

А если не найдут? Примеры хороши, но весь вопрос в том являются ли они какими-либо аналогами ситуации в квантовой гравитации?

То есть Вы считаете, что энергию фотона можно увеличивать без ограничений? Если так не считаете, то какой Вы можете предложить иной механизм, ограничивающий рост положительной кинетической энергии фотона, помимо его отрицательной гравитационной энергии?

[VladTK]

aklimets в сообщении #826751 писал(а):

То есть Вы считаете, что энергию фотона можно увеличивать без ограничений?...

Да, считаю энергию фотона можно увеличивать без ограничений. А зачем ограничивать?

[aklimets]

VladTK в сообщении #827519 писал(а):

Да, считаю энергию фотона можно увеличивать без ограничений. А зачем ограничивать?

Риторический вопрос. А зачем скорость света ограничивать? Вернее, зачем природе понадобилась предельная скорость передачи информации? Наверное, можно было обойтись и без этого.
Если энергию фотона не ограничивать, значит планковская длина не является минимальной длиной. То есть нулевая длина (то бишь бесконечная энергия) - это реально?

[VladTK]

Ограничение скорости света можно ожидать уже просто из факта существования причинности в нашем мире. А ограничение энергии фотона/существование минимальной длины ниоткуда не следует и не для чего, на первый взгляд, не нужно.

Еще хотел бы разделить понятия реального и возможного. С моей точки зрения, произвольно высокая энергия фотона возможна, но не реальна - никаких фотонов с энергиями выше планковских (даже близких к планковским) не существует в настоящий момент (мы их сейчас не наблюдаем). Причина этого кроется в том, что сейчас не существует систем, способных излучить такие фотоны.

Вот новая интересная статья по планковским делам http://arxiv.org/abs/1401.3720, которая как минимум ограничивает реальность Ваших идей (imho разумеется).

[VladimirKalitvianski]

VladTK в сообщении #828517 писал(а):

Ограничение скорости света можно ожидать уже просто из факта существования причинности в нашем мире.

Об этом Вы прочитали в греческих книгах или дошли своим умом? Нет, кроме шуток, есть ли какие-либо указания на необходимость предельной скорости распространения фронта света?

В механике, например, передача силы происходит мгновенно, но причинность все равно имеет место, так как одно дело сила, а другое дело скорость, набираемая под действием этой силы. Скорость не становится большой мгновенно.

[bocharov]

VladimirKalitvianski в сообщении #828529 писал(а):

Нет, кроме шуток, есть ли какие-либо указания на необходимость предельной скорости

Есть напр.выражение-"дурная бесконечность".Хочешь ты или не хочешь,нужно иметь ввиду какой либо предел(но он совсем не исключает какой то другой предел).

[SergeyGubanov]

VladTK в сообщении #828517 писал(а):

Ограничение скорости света можно ожидать уже просто из факта существования причинности в нашем мире.

Присоединяюсь к просьбе VladimirKalitvianski. Мне тоже не понятна логика этого суждения. Более того, по моему всё как раз может быть наоборот. Наличие мировой константы $c$ позволяет ввести псевдориманову (локально галилееву) метрику на четырёхмерном пространстве событий. Далее можно (гипотетически) искривить это пространство событий так, чтоб появилась хронопетля, нарушив тем самым причинность. А вот в Ньютоновском Мире хронопетель нет даже гипотетически, причинность не нарушается никогда.

[aklimets]

VladTK в сообщении #828517 писал(а):

А ограничение энергии фотона/существование минимальной длины ниоткуда не следует и не для чего, на первый взгляд, не нужно.

На первый взгляд нужно для устранения расходимостей.

VladTK в сообщении #828517 писал(а):

Вот новая интересная статья по планковским делам http://arxiv.org/abs/1401.3720
, которая как минимум ограничивает реальность Ваших идей (imho разумеется).

ОТО не раз пробовали подправить, заменить. Думаю и здесь закончится ничем.

[npduel]

aklimets в сообщении #827560 писал(а):

Риторический вопрос. А зачем скорость света ограничивать? Вернее, зачем природе понадобилась предельная скорость передачи информации? Наверное, можно было обойтись и без этого.

Это не риторический вопрос, а неправильно заданный вопрос. Скорость света - не "предельная" скорость, а единственная скорость перемещения всего сущего в природе. Зачем бы природе изобретать много скоростей? Как Вы правильно сформулировали: "Наверное, можно было обойтись и без этого."
Вот природа и обошлась одной скоростью, т.к. сообразила, что меньшие скорости легко сконструировать по принципу - два шага вперёд и один шаг назад - это половинная скорость...

[VladimirKalitvianski]

aklimets в сообщении #828555 писал(а):

VladTK в сообщении #828517 писал(а):

А ограничение энергии фотона/существование минимальной длины ниоткуда не следует и не для чего, на первый взгляд, не нужно.

На первый взгляд нужно для устранения расходимостей.

В нормальной теории высокоэнергетичные моды не страшны, так как они не возбуждаются, сколько бы их ни было и какой бы они не были энергии. А в ненормальной теории все моды "плохие" - и мягкие, и жесткие.

[bocharov]

npduel в сообщении #828562 писал(а):

Зачем бы природе изобретать много скоростей?

Затем,чтобы проверить сообразительность изобретателей.