Задача из квола по вещественному анализу

[Red_Herring]

Ну, в общем-то верно. Нужно рассмотреть Smith–Volterra–Cantor set (более известное как Fat Cantor Set) и сделать его еще более жирным за счет добавления отрезков (например, замкнутых центральных третей отрезков выброшенных ранее при построении FCS). Тем аспирантам, которые поверили экзаменаторам и пытались доказать, задачу не засчитали. Немногие построили контрпримеры.

PS. Самый интересный вопрос "was it a bug or a feature?" остался неотвеченным.
PPS. Еще более интерсно, что как мне сообщили, никто такой наколкой не возмутился. Если бы это были аспиранты из School of Education, School of Government или School of Law––там иск на пару миллионов был бы обеспечен.

[kp9r4d]

Red_Herring
Эво оно как, поучительная довольно ситуация, спасибо за задачу.

[g______d]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #824743 писал(а):

PPS. Еще более интерсно, что как мне сообщили, никто такой наколкой не возмутился. Если бы это были аспиранты из School of Education, School of Government или School of Law––там иск на пару миллионов был бы обеспечен.

Это же qual; неужели там все так серьезно? Там разве оценка не двухбальная? Вот если бы экзамен был вступительным, тогда другое дело. Но не думаю, что где-то в США такую задачу дадут на вступительном :)

Т. е. могло просто не оказаться аспирантов, которые на грани прохода и эта задача могла изменить ситуацию/лишить стипендии. Или такие были, но проходной балл уменьшили.

Скандалы, по-моему, в данном случае не выгодны ни одной стороне.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #824749 писал(а):

Red_Herring в сообщении #824743 писал(а):

PPS. Еще более интерсно, что как мне сообщили, никто такой наколкой не возмутился. Если бы это были аспиранты из School of Education, School of Government или School of Law––там иск на пару миллионов был бы обеспечен.

Это же qual; неужели там все так серьезно? Там разве оценка не двухбальная? Вот если бы экзамен был вступительным, тогда другое дело. Но не думаю, что где-то в США такую задачу дадут на вступительном :)

Т. е. могло просто не оказаться аспирантов, которые на грани прохода и эта задача могла изменить ситуацию/лишить стипендии. Или такие были, но проходной балл уменьшили.

Скандалы, по-моему, в данном случае не выгодны ни одной стороне.

Это был сентябрьский qual для новых аспирантов и вопрос был о том: сдал--этих лекций можно не слушать (там три qual  -- анализ, алгебра, топология). Т.е. ничего трагического, наоборот, практически никто (или вообще никто) не сдал всех трех.

Но вопрос о разнице в мировоззрениях.

[Руст]

Да, хорошая наколка, а я поверил, что это в серьез.
Раз все точки Канторово множества являются предельными для дополнения, то само Канторово множество и есть граница открытого множества,
являющегося его дополнением. Все мы знаем, что Канторово множество можно сделать положительной меры.
Четные или нечетные в рекурсии построения, тут не причем.

[g______d]

Руст в сообщении #824772 писал(а):

само Канторово множество и есть граница открытого множества,
являющегося его дополнением.

В условии речь идет не про границу открытого множества, а про границу замыкания открытого множества. У любого канторовского множества граница замыкания дополнения пуста, поэтому оно не подойдет.

[Red_Herring]

Руст в сообщении #824772 писал(а):

Да, хорошая наколка, а я поверил, что это в серьез.
Раз все точки Канторово множества являются предельными для дополнения, то само Канторово множество и есть граница открытого множества,
являющегося его дополнением. Все мы знаем, что Канторово множество можно сделать положительной меры.
Четные или нечетные в рекурсии построения, тут не причем.

Да нет: ведь мы смотрим границу не открытого множества $\Omega$, а множества $\bar{\Omega}$, которое является его замыканием. Т.е. для дополнения нигде не плотного м-ва замыканием будет весь отрезок.

Ясно что $\partial \bar{\Omega}\subset \partial \Omega$ и первое м-во может быть гораздо меньше второго.

[Руст]

Успел позабыть условие.

[Red_Herring]

Поскольку картинку опубликовать не могу, публикую \LaTeX (лейтек) код: черным Канторово м-во (в данном случае--обычное, жирное бы не оставило места на картинке для открытых интервалов), синим добавленные интервалы

Используется синтаксис LaTeX

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz,pgf}
\pagestyle{empty}
\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\draw[line width=30] (0,0)--(12,0);
\draw [line width=40,white](4,0)--(8,0);
\foreach \x in {0,2} \draw [line width=40,white]  (4*\x+4/3,0)--(4*\x +8/3,0);
\foreach \x in {0,2} \foreach \y in {0,2} \draw [line width=40,white]   (4*\y + 4/3*\x+4/9,0)--(4*\y  + 4/3*\x +8/9,0);
\foreach \x in {0,2} \foreach \y in {0,2} \foreach \z in {0,2} \draw [line width=40,white]   (4*\z+4/3*\y + 4/9*\x+4/27,0)--(4*\z +4/3*\y  + 4/9*\x +8/27,0);

\draw [line width=30,blue](16/3,0)--(20/3,0);
\foreach \x in {0,2} \draw [line width=30,blue]  (4*\x+16/9,0)--(4*\x +20/9,0);
\foreach \x in {0,2} \foreach \y in {0,2} \draw [line width=30,blue]   (4*\y + 4/3*\x+16/27,0)--(4*\y  + 4/3*\x +20/27,0);
\foreach \x in {0,2} \foreach \y in {0,2} \foreach \z in {0,2} \draw [line width=30,blue]   (4*\z+4/3*\y + 4/9*\x+16/81,0)--(4*\z +4/3*\y  + 4/9*\x +20/81,0);
\end{tikzpicture}
\end{document}

[kp9r4d]

Можете объяснить почему мера границы замыкания такого множества ненулевая? Кажется будто граница замыкания должна быть тоже штукой вроде канторового множества.
Почему не можете вставить рисунок? Тут же есть тег «[img]» вроде.

[Red_Herring]

kp9r4d в сообщении #825283 писал(а):

Можете объяснить почему мера границы замыкания такого множества ненулевая? Кажется будто граница замыкания должна быть тоже штукой вроде канторового множества.
Почему не можете вставить рисунок? Тут же есть тег «[img]» вроде.

1) Потому что мы говорим о Жирном Канторовом Множестве, а оно ненулевой меры. Более этого, его меру можно сделать сколь угодно близкой к полной мере. Строится оно так: из отрезка выбросим $2^{-2}\epsilon $-окрестность центральной точки. Из двух оставшихся отрезков выбросим $2^{-4}\epsilon $-окрестности их центральных точек. И т.д. Мера выброшенных отрезков не превосходит $\epsilon $.

Отсюда, кстати, легко вытекает пример разбиения отрезка на м-во меры ноль и м-ва 1й Бэровской категории. Т.е. тополог и специалист по теории меры могут разделить отрезок так, чтобы каждый поступился чем то пренебрежимым с его точки зрения

2) Рисунок не ответит на вопрос о мере (т.б. что я рисовал обычное Канторово м-во, т.к. на жирном отрезки схлопываются очень быстро). Я не хочу ссылку на внешнюю графику, а аттачментов постировать не могу