Вопрос по Shreve S.E. Stochastic calculus for finance II

[Rasool]

При чтении п.1.3 Shreve S.E. Stochastic calculus for finance II возникли вопросы.
На стр. 13 есть такое определение математического ожидания дискретной случайной величны:

Цитата:

Let $X$ be a random variable defined on a probability space $(\Omega,\digamma,\mathfb{P})$. We would like to compute an "average value" of $X$, where we take the probabilities into account when doing the averaging.
If $\Omega$ is finite, we simply define this average value by

$$\mathfb{E}X = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)\mathfb(P)(\omega)$$

Это мне понятно, все правильно.
У меня вопрос по стр. 17 - определение мат. ожидания на основе интеграла Лебега:

Цитата:

Definition 1.3.3. Let $X$ be a random variable on a probability space $(\Omega,\digamma,\mathfb{P})$.The expectation (or expected value) of $X$ is defined to be

$$\mathfb{E}X = \int_{\Omega} X (\omega) d\mathfb{P}(\omega)$$

Здесь не ясно, почему $d\mathfb{P}(\omega)$, а не $\mathfb{P}(\omega)d{\omega}$? Пусть $\Omega$ задано на множестве действительных чисел (рассмотрим через интеграл Римана), тогда интегрирование ведется по области $\Omega$, тогда, наверное, имеется в виду, что $d\mathfb{P}(\omega)=p(\omega)d(\omega)$, где $d\mathfb{P}(\omega)/d(\omega)=p(\omega)$ - плотность вероятности? И тогда

$$\mathfb{E}X = \int_{\Omega} X(\omega)p(\omega) d{\omega}$$

?

P.S. Скачать "Shreve S.E. Stochastic calculus for finance II.. Continuous-time models" можно отсюда: http://turbobit.net/v3sqhqo2dzdr.html

[Xaositect]

Rasool в сообщении #824215 писал(а):

Пусть $\Omega$ задано на множестве действительных чисел (рассмотрим через интеграл Римана), тогда интегрирование ведется по области $\Omega$, тогда, наверное, имеется в виду, что $d\mathfb{P}(\omega)=p(\omega)d(\omega)$, где $d\mathfb{P}(\omega)/d(\omega)=p(\omega)$ - плотность вероятности? И тогда

$$\mathfb{E}X = \int\limits_{\Omega} X(\omega)p(\omega) d{\omega}$$

Верно.

Rasool в сообщении #824215 писал(а):

Здесь не ясно, почему $d\mathfb{P}(\omega)$, а не $\mathfb{P}(\omega)d{\omega}$?

А определение интеграла Лебега где-нибудь есть? $\int_A f(x) d\mu(x)$ означает интеграл по мере $\mu$, в данном случае у нас мера - это вероятность.

[--mS--]

А при чём тут плотность вероятности? В определении 1.3.3 дано общее определение математического ожидания как интеграла Лебега. В том числе и для дискретных годится.

Только обычно его обозначают как $\int\limits_\Omega X(\omega)\mathsf P(d\omega)$, или коротко $\int\limits_\Omega X\, d\mathsf P$.

[Rasool]

Xaositect в сообщении #824221 писал(а):

Rasool в сообщении #824215 писал(а):

Здесь не ясно, почему $d\mathfb{P}(\omega)$, а не $\mathfb{P}(\omega)d{\omega}$?

А определение интеграла Лебега где-нибудь есть? $\int_A f(x) d\mu(x)$ означает интеграл по мере $\mu$, в данном случае у нас мера - это вероятность.

Т.е., если традиционно рассматривать интеграл, как $ \lim\limits_{\max(\Delta{x_j})\rightarrow 0} \sum\limits_{j=0}^{n-1} f (\xi_j) \Delta{x_j}$,
где $x_0<x_1<...<x_n$ - разбиение интервала интегрирования, $\Delta{x_j}=x_{j+1}-x_j$, $ \xi_j \in [x_j, x_{j-1}]$.
то $\Delta{x_j}$ - это мера множества x в смысле Лебега.

[--mS--]

Интеграл Римана тут ни при чём.

[Rasool]

--mS-- в сообщении #825657 писал(а):

Интеграл Римана тут ни при чём.

Я тут подумал, что интеграл Римана можно рассмотреть, как частный случай интеграла Лебега.

[--mS--]

Кошек 7, номер дома тоже 7. Значит ли это, что число кошек является частным случаем номера дома?

[Rasool]

При решении задач к главе 1 т.2 Шрива у меня возник такой вопрос по стр. 4,6:

Цитата:

Example 1.1.4 (Infinite, independent coin-toss space).
We toss a coin infinitely many times and let $\Omega_\infty$ of set of possible outcomes (the set of infinite sequences of Hs and Ts). We assume the probability of head on each toss is $p>0$, the probability of tail is $q=1-p>0$, and the different tosses are independent, a concept we define precisely in the next chapter. We want to construct a probability measure corresponding to this random experiment.
...
We create a $\sigma$-algebra, called $F_\infty$, by putting in every set that can be described in terms of finitely many coin tosses and then adding all other sets required in order to have a $\sigma$-algebra. It turns out that once we specify the probability of every set that can ba described in terms of finitely many coin tosses, the probability of every set in $F_\infty$ is determined. There are sets in $F_\infty$ whose probability, although determined, is not easily computed. For example, consider the set $A$ of sequences $\omega=\omega_1\omega_2...$ for which

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{H_n(\omega_1...\omega_n)}{n}=\frac{1}{2} (1.1.13)$$

where $H_n(\omega_1...\omega_n)$ denotes the number of $H_s$ in the first $n$ tosses. In other words, $A$ is the set oа sequences of heads and tails for which the long-run average number of heads is $\frac{1}{2}$. Because its description involves all the coin tosses, it was not defined directly at any stage of the process outlined above. On the other hand, it is in $F_\infty$, and that means its probability is somehow determined by this process and the properties of probability measures. To see that $A$ is in $F_\infty$, we fix positive integers $m$ and $n$ define the set

$$A_{n,m}=\left\{\omega;\left|\frac{H_n(\omega_1...\omega_n)}{n}-\frac{1}{2}\right|\leqslant\frac{1}{m}\right\}$$

This set is in $F_n$, and once $n$ and $m$ are known, its probability is defined by the process outlined above. By the definition of limit, a coin-toss sequence $\omega=\omega_1\omega_2...$ satisfies (1.1.13) if and only if for every positive integer $m$ there exists a positive integer $N$ such that for all $n\geqslant N$ we have $\omega\in A_{n,m}$. In order words, the set of $\omega$ for which (1.1.13) holds is

$$A=\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{N=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=N}^{\infty} A_{n,m}$$

Последний вывод я не понял. Вроде бы по логике должно $\forall m>0$ $\exists N>0$ $\forall n\geqslant N$ соответствовать $A=\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{N=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=N}^{\infty} A_{n,m}$?

[--mS--]

Если $A$ и $B$ - два события, то как выглядит событие "и $A$, и $B$ произошли"?

[Rasool]

Спасибо.

[Rasool]

Цитата:

Exercise 1.5, стр. 42
When dealing with double Lebesgue integrals, just as with double Riemann integrals, the order of integration can reversed. The only assumption required is that the function being integrated be either nonnegative or integrable. Here is an application of this fact.
Let $X$ be a nonnegative random variable with cumulative distribution function $F(x)=P{X\leqslant x}$. Show that

$$EX=\int\limits_0^{\infty} (1-F(x)) dx$$

by showing that

$$\int\limits_{\Omega} \int\limits_0^{\infty}I_{(0,X(\omega))} (x) dx dP(\omega)$$

is equal to both EX and $\int\limits_0^{\infty} (1-F(x))dx$.

Во-первых, я не понял, что означает индекс $(0,X(\omega))$ у индикатора множества $I_{(0,X(\omega))} (x)$? То, что индикатор принимает значения от 0 до $X(\omega)$?
Во-вторых, в самом учебнике сказано, что

$$EX=\int\limits_\Omega X(\omega) dP(\omega).$$

Отсюда следует, что нужно доказать, что
$\int\limits_0^{\infty} I_{(0,X(\omega))} (x) dx = X(\omega)$ и $\int\limits_{\Omega}I_{(0,X(\omega))}(x) dP(\omega) = 1-F(x)$.
Если первое относительно видно, то второе совсем не понятно.

[--mS--]

Rasool в сообщении #830843 писал(а):

Во-первых, я не понял, что означает индекс $(0,X(\omega))$ у индикатора множества $I_{(0,X(\omega))} (x)$?

Как обычно, $I_A(x)=1$, если $x\in A$, и нулю иначе. В данном случае этот множитель единица, если $0<x<X(\omega)$, иначе нуль. Я бы записала как $I(0<x<X(\omega))$ - такие индикаторы мне больше нравятся.

Rasool в сообщении #830843 писал(а):

$\int\limits_{\Omega}I_{(0,X(\omega))}(x) dP(\omega) = 1-F(x)$.
Если первое относительно видно, то второе совсем не понятно.

$\int\limits_\Omega I(A)\, dP(\omega)=\int\limits_A dP(\omega)=P(A)$.

[Rasool]

Цитата:

$\int\limits_\Omega I(A)\, dP(\omega)=\int\limits_A dP(\omega)=P(A)$.

Значит $\int\limits_{\Omega} I(0<x<X(\omega)) (x) dP(\omega) = \int\limits_{X(\omega)} dP(\omega) = P(X(\omega))$
Тогда почему получается $EX=\int\limits_0^{\infty} P(X)dx$? Вообще-то (если не ошибаюсь) $EX=\int\limits_0^{\infty} x p(x)dx$, где $p(x)=dP(x)/d(x)$ - плотность вероятности.
И не понятно, почему $EX=\int\limits_0^{\infty} (1-F(x)) dx$, если $F(x)=P{(X\leqslant x)}$ (функция возрастающая от P=0 до P=1 по x).

[--mS--]

Rasool в сообщении #831957 писал(а):

Значит $\int\limits_{\Omega} I(0<x<X(\omega)) (x) dP(\omega) = \int\limits_{X(\omega)} dP(\omega) = P(X(\omega))$

Что это было? Написан полный абсурд. Запишите событие $A$ (что такое событие, знаете?), а затем интеграл по этому событию.

[Rasool]

--mS-- в сообщении #832051 писал(а):

Rasool в сообщении #831957 писал(а):

Значит $\int\limits_{\Omega} I(0<x<X(\omega)) (x) dP(\omega) = \int\limits_{X(\omega)} dP(\omega) = P(X(\omega))$

Что это было? Написан полный абсурд. Запишите событие $A$ (что такое событие, знаете?), а затем интеграл по этому событию.

Все, кажется понял. Имеем: $\int\limits_{\Omega} I(0<x<X(\omega)) (x) dP(\omega) = \int\limits_{I(0<x<X(\omega))} dP(\omega) = P(0<x<X(\omega)) = 1 - P(X\leqslant x) = 1 - F(x).$
Отсюда $\int\limits_0^{\infty} \int\limits_{\Omega} I(0<x<X(\omega)) (x) dP(\omega) dx = \int\limits_0^{\infty} 1 - F(x) dx.$