Руст и
neo66, я не совсем понимаю, что вы хотите сказать.
Используя неравенство

, не получится доказать сходимость, т.к. ряд

расходится.
Из ограниченности числителя ничего не следует. У ряда

числитель тоже ограничен, но это же не повод говорить, что он сходится. Или вы имеете в виду, что ограничены частичные суммы числителя, т.е. пытаетесь применить признак Дирихле? Тогда не очевидно, что

для всех

.
Юстас Спасибо за ссылку! Ряд действительно очень похожий. Почитал решение на mathlinks, абсолютно аналогичное решение можно и для этого ряда написать. Правда, немного смущает, что приходится применять теорему Hata о приближениях числа

, но что уж поделать. В остальном более-менее понятно.
P.S. Кстати, на MathWorld они вроде написали, но там и до сих пор висит сообщение
Цитата:
It is not known if the series

(12)
converges (Borwein et al. 2004, p. 56). After

terms, the series equals approximately 2.163.