Числовой ряд

[Gordmit]

Исследовать ряд на сходимость:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^n n}{n}.$$

[Руст]

Очевидно сходится, даже без возведения в степень.

[Gordmit]

Ну да, без возведения в степень сходится, это ясно. А с возведением почему сходится?

[Юстас]

Похоже, это связано с равномерным распределением точек вида $\{\{2\pi k\}, \ k\in Z\}$ на [0,1], правдободобное рассуждение соорудить нетрудно. Только вот полное обоснование требует по всей видимости некоторых теорем. Я когда-то видел очень похожую задачу на mathlinks, с полным обоснованием. Можно посмотреть вот это.

[neo66]

Gordmit писал(а):

Ну да, без возведения в степень сходится, это ясно. А с возведением почему сходится?

Потому, что числитель ограничен.

[Gordmit]

Руст и neo66, я не совсем понимаю, что вы хотите сказать.
Используя неравенство $|\sin^n n|\leqslant |\sin n|$, не получится доказать сходимость, т.к. ряд

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{|\sin n|}{n}$$

расходится.
Из ограниченности числителя ничего не следует. У ряда

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

числитель тоже ограничен, но это же не повод говорить, что он сходится. Или вы имеете в виду, что ограничены частичные суммы числителя, т.е. пытаетесь применить признак Дирихле? Тогда не очевидно, что

$$\biggl|\sum_{n\leqslant k}\sin^n n\biggr|<C$$

для всех $k$.

Юстас Спасибо за ссылку! Ряд действительно очень похожий. Почитал решение на mathlinks, абсолютно аналогичное решение можно и для этого ряда написать. Правда, немного смущает, что приходится применять теорему Hata о приближениях числа $\pi$, но что уж поделать. В остальном более-менее понятно.

P.S. Кстати, на MathWorld они вроде написали, но там и до сих пор висит сообщение

Цитата:

It is not known if the series

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(\frac23+\frac13\sin{n})^n}{n}$$

(12)

converges (Borwein et al. 2004, p. 56). After $10^7$ terms, the series equals approximately 2.163.