Область сходимости ряда

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся с такой задачей: найти область сходимости функционального ряда

$$\sum\limits_{n =0}^{\infty} (x+1)^{n^2} 3^{n^2}$$

По радикальному признаку Коши:

$$\lim\limts_{n \to \infty} |\sqrt[n]{a_{n}}| = \lim\limts_{n \to \infty} \left |\sqrt[n]{(x+1)^{n^2} 3^{n^2}} \right | = \lim\limts_{n \to \infty} \left |(x+1)^{n} 3^{n} \right |$$

При $x \neq -1$ предел равен бесконечности, при $x=1$ предел равен нулю, следовательно, облатью сходимости ряда будет одна точка $x=1$, верно ли?

Просматриваю учебники по мат. анализу - пока нигде подобных примеров не нашел.

Спасибо!

[SpBTimes]

А могу подставить $x = -1 - \frac{1}{7}$? И чему равен предел?

[Limit79]

SpBTimes
Спасибо за ответ!
Можете, предел будет равен нулю.

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left | (x+1)^n 3^n \right | = \lim\limits_{n \to \infty} \left | (3x+3)^n \right | = \begin{cases} 0 & , x \in \left (-\frac{4}{3} < x < -\frac{2}{3} \right ) \\ 1 & , x= -\frac{4}{3}, x=-\frac{2}{3} \\ \infty & , x \in \left (-\infty < x < -\frac{4}{3} \right ) \cup \left (-\frac{2}{3} < x < +\infty \right ) \end{cases}$$

При $x=-\frac{4}{3}$ будет $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}$ - расходится.

При $x=-\frac{2}{3}$ будет $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (1)^{n^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (1)^{n}$ - расходится.

То есть область сходимости будет $x \in \left (-\frac{4}{3} < x < -\frac{2}{3} \right ) $?

[SpBTimes]

Да, причем область абсолютной сходимости.

[Limit79]

SpBTimes
Понял, большое спасибо Вам за помощь! Уяснил для себя некоторые моменты.